noumen.pl: Problem Locke'a-Berkeleya, Kant, Poincaré i matematyczna zasada indukcji

Andrzej Lubomirski

Problem Locke'a-Berkeleya, Kant, Poincaré i matematyczna zasada indukcji

"Archiwum Historii Filozofii i Myśli Społecznej" t. 28, 1982, s. 59-83.

Określenie "problem Locke'a-Berkeleya", które otwiera tytuł niniejszej rozprawki, nie należy do obiegowej terminologii współczesnej filozofii matematyki. Pochodzi ono od zmarłego kilkanaście lat temu holenderskiego logika Everta W. Betha, odnoszącego je do pewnej, historyczmymi okolicznościami ukształtowanej, wersji jednego z tych fundamentalnych zagadnień, od rozważenia których uchylić się nie może żadna, godna tej nazwy, filozoficzna refleksja nad naturą poznania matematycznego: w jaki sposób twierdzenia matematyki mogą być "powszechnie ważne", "pewne" i "konieczne", skoro rozumowania, na których podstawie zdania te godzimy się zaakceptować jako twierdzenia matematyczne właśnie, nie są wcale prowadzone na tym poziomie ogólności pojęciowej, na jakim same tezy są formułowane, lecz przeciwnie - muszą zawsze i na każdym kroku, z jednej strony, odwoływać się do obiektów w pewnym sensie jednostkowych i w pewnym sensie konkretnych, których nieskończonej mnogości (a pomijamy tu nawet trudność związaną z pytaniem o to, w jaki sposób w ogóle możliwy jest kontakt między podmiotem a tym, co zwykliśmy nazywać obiektem matematycznym) nigdy przecież, z drugiej strony, w pełni spenetrować ani wyczerpać nie można?

Żadna z tych dwu informacji, sama przez się i brana z osobna, nie byłaby może godna odnotowania; ich zestawienie wszakże - jeśli się rzecz rozważy w szerszym kontekście i przy pewnych założeniach dodatkowych - zwraca uwagę na pewien fakt interesujący i skłania do refleksji ogólniejszej. Oto bowiem, po pierwsze, mamy tu przecież do czynienia z kwestią stanowiącą - od czasów Platona i Arystotelesa - zawsze jedno z centralnych zagadnień epistemologii matematyki i zatem, z uwagi na ową szczególną naturę i funkcję wiedzy matematycznej w całokształcie ludzkiego poznania, przyciągającą uwagę największych myślicieli, będącą więc jednym z najważniejszych zagadnień filozofii w ogóle. Po drugie, chodzi tu o pytanie, które - z jednej strony w znacznie większym stopniu, niż mogłoby się to na pierwszy rzut oka wydawać, odnosi się najzupełniej bezpośrednio i konkretnie do rzeczywistej praktyki badawczej matematyki tak dawnej, jak współczesnej i dla którego - z drugiej strony - istnieją pewne odpowiedniki "techniczne" i formalne, intensywnie badane (zwłaszcza w czasach najnowszych) środkami logiki. Po trzecie wreszcie, nie kto inny, lecz właśnie Beth, autor skądinąd powszechnie ceniony nie tylko jako badacz podstaw logiki i matematyki, lecz także jego myśliciel o wszechstronnej wiedzy i kulturze filozoficznej, z nadzwyczajną jasnością dostrzegł i ukazał związek jednego z drugim, stwarzając w ten sposób możliwość rozważenia zagadnienia nie tylko pod tym względem, pod którym daje się ono zredukować do takich czy innych analiz formalnych, ale też w jego pełnym filozoficznym wymiarze. A mimo to (taki wniosek musi nasunąć się każdemu, kto choćby najbardziej pobieżnie zapozna się z literaturą przedmiotu) analizy Betha nie odegrały takiej roli, jaką odegrać powinny; wskazana przez niego możliwość nie została wykorzystana, a pełny sens problemu, o który chodzi, pozostaje jak gdyby poza kręgiem zainteresowań głównego nurtu współczesnej filozofii matematyki.

Fakt ten, jeśli się sprawie przyjrzeć dokładniej, daje się w gruncie rzeczy łatwo wytłumaczyć. Aczkolwiek bowiem minęło już wiele czasu od chwili, gdy odkrycie tzw. antynomii teorii mnogości zachwiało podstawami matematyki (które, jak się podówczas wydawało, dopiero co zostały właśnie ustanowione w sposób absolutny i ostateczny), aczkolwiek znikomy był w istocie rzeczy bezpośredni wpływ, jaki zdarzenie to wywarło na ewolucję teorii, na których skoncentrowana była codzienna twórcza praca matematyków i których rozwój przeto decydował o generalnym kształcie postępu wiedzy matematycznej (mówimy tu - trzeba to podkreślić - o samej matematyce, a nie o teorii jej podstaw ani o dyscyplinach z teorii tej później zrodzonych lub w każdym razie z nią w taki lub inny sposób związanych), to jednak efekt wstrząsu, jaki wywołał ów sławny "kryzys podstaw", odzywa się dziś jeszcze w świadomości autorów, których wysiłek składa się na współczesną refleksję meta-matematyczną (mówię "meta-matematyczną", a nie "metamatematyczną", jako że ten ostatni termin ma powszechnie przyjęte znaczenie, ściśle określone i odmienne od tego, o które nam tu chodzi). Niezależnie bowiem od wszelkich różnic między rozmaitymi pomysłami, propozycjami i programami badawczymi, jakie miały matematykę z owego - prawdziwego czy urojonego - kryzysu wyprowadzić, wszystkie one implikowały tę samą normę czy dyrektywę metodologiczną: należy, w owym meta-matematycznym badaniu, zerwać z tradycją swobodnego filozofowania, metafizycznej spekulacji, która z natury rzeczy koncentrowała się - jeżeli nie wyłącznie, to w każdym razie przede wszystkim - na pewnych intuicyjnie tylko uchwytnych elementach towarzyszących myśleniu matematycznemu sensu stricto, których bezprawny udział w owym myśleniu był właśnie za cały kryzys odpowiedzialny. Meta-matematyka powinna niejako stać się - w każdym razie według bardziej radykalnych wersji tej propozycji - sprawą wewnętrzną samej matematyki; powinna ją przeto najpierw uczynić dobrze i ściśle (z formalnego punktu widzenia) zdefiniowanym obiektem, by następnie, tak zrekonstruowaną, poddać systematycznej i spełniającej określone rygory metodologiczne analizie. Doskonała precyzja języka, w którym opisywane by być miały już to matematyczne czynności poznawcze, już to czynności tych wytwory, dorównująca matematycznej pewności niezawodność meta-matematycznych rozumowań - oto naczelne wartości "nowoczesnej" filozofii matematyki, dla której wieloznaczne pojęcia i mętne wywody Arystotelesa, Kartezjusza i Kanta nie mogą już stanowić żadnego rzeczywistego punktu odniesienia ani źródła inspiracji; tak oto filozofia matematyki odcięła się od swych własnych korzeni, zlikwidowała samą siebie jako f i l o z o f i ę właśnie.

Nie musimy chyba dodawać, że przedstawiony przez chwilę wywód jest opisem niezmiernie uproszczonym i w pewnym sensie jednostronnym. Wierzymy jednak, ze dość wiernie oddaje on tendencję charakteryzującą ewolucję dwudziestowiecznej filozofii matematyki czy w każdym razie jej dominującego "nurtu. Ocena tego faktu nie jest bynajmniej sprawą prostą. Jest w końcu rzeczą oczywistą, że stanowiący efekt tej ewolucji wspaniały rozwój metamatematyki, logiki matematycznej i teorii podstaw matematyki (niezależnie nawet od tego, że - wobec fundamentalnych twierdzeń Gödla i innych uzyskanych później analogicznych rezultatów - znalezienie na drodze formalnej owych "ostatecznych" podstaw matematyki, których poszukiwano, okazało się znacznie trudniejsze, niż to się początkowo wydawało) uznać trzeba za jedno z największych osiągnięć umysłu ludzkiego w naszym stuleciu. Trudno jednakże - obserwując ów proces "defilozofizacji" filozofii matematyki - uwolnić się od poczucia pewnego niepokoju i dezaprobaty, zwłaszcza że idzie on przecież w parze z pewnym innym, równie niepokojącym zjawiskiem powszechnym: wszyscy stajemy się w coraz większym stopniu "specjalistami" w bardzo wąskiej i bardzo technicznie zaawansowanej dziedzinie wiedzy, nie lubimy wtrącania się laików, sami jesteśmy bardzo wrażliwi na możliwy zarzut niekompetencji, na który moglibyśmy się narazić, gdybyśmy poza naszą dokładnie zdefiniowaną specjalność ośmielili się choćby w najmniejszym stopniu wykroczyć, dbamy o nieskazitelna "ścisłość" naszych rozważań, ale płacimy za to wszystko cenę bardzo wysoką - zaczynamy tracić zdolność dostrzegania związków tego, co sami robimy, z pracą innych i z tym, co kiedyś robili nasi poprzednicy, zdolność konstruowania obrazu ogólnego, generalnej wizji świata czy choćby jego fragmentów. Jest więc szczególnie cenne, że wciąż pojawiają się ludzie, którzy - jak Beth - od niebezpieczeństwa tego potrafią się uchronić; jest ważne, abyśmy my sami - na tyle, na ile pozwalają nam nasze własne ograniczenia - ich wysiłki przynajmniej starali się kontynuować.

Omawiany problem - nie w jego wersji najogólniejszej, lecz w tym wariancie, w którym odnosi się on bezpośrednio do matematycznej praktyki badawczej - sformułować można na wiele sposobów. Obrana przez nas metoda ma - z pewnego punktu widzenia - liczne wady, których tu wszakże wyszczególniać nie będziemy (wspominając jedynie o jednej z nich, związainej z nieusuwalną wieloznacznością pewnych pojęć, do których będziemy musieli się odwołać). Są jednak także ważne racje przemawiające za takim właśnie wyborem. Po pierwsze, metoda ta stosunkowo szybko doprowadzi nas do samej istoty rzeczy; po drugie, nie wymaga ona od czytelnika - jeśli idzie o zrozumienie podstawowego sensu wywodu - żadnej technicznej wiedzy matematycznej wykraczającej poza znajomość elementarnych pojęć arytmetyki i geometrii; po trzecie wreszcie, pomimo tej pojęciowej prostoty będziemy jednak mogli zagadnienie nasze zilustrować opisem ważnego procesu, którego początki sięgają połowy wieku XIX, lecz który w naszym dopiero stuleciu doprowadził do końca kształtowanie się tego, co nazywamy matematyką współczesną, pojmowaną jako badanie tzw. abstrakcyjnych struktur matematycznych, operacji nad nimi wykonywanych i ich transformacji.

Zjawisko to opisać się daje - dopóki chodzi o sam tylko opis, a nie o interpretację - zupełnie łatwo. Oto - streszczamy tu, z niewielkimi modyfikacjami, stosowny fragment pewnego artykułu Bourbakiego - tak różne obiekty, jak liczby rzeczywiste (wymierne i niewymierne), liczby całkowite 1, 2,.... p-1 (gdzie p jest liczbą pierwszą) i translacje (przesunięcia) w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Na obiektach tych - ogólnie rzecz biorąc - wykonywać możemy różne operacje. W szczególności umiemy dodawać liczby rzeczywiste, w pewien specjalny sposób "mnożyć" elementy drugiego zbioru (tak mianowicie, że za "iloczyn" dwu takich elementów uważamy resztę z dzielenia przez p ich iloczynu rozumianego w zwykły sposób¹)

¹Oczywiście, zwykłe mnożenie tych liczb jest w pewnym sensie także możliwe, lecz jego wynik może być liczbą większą od liczby p-1 i przeto nie może być ono uważane za operację określoną w zbiorze {1, 2,..., p-1}; jeśli, na przykład, przyjmiemy p = 3, to mnożąc dwa przez dwa w zwykły sposób otrzymamy liczbę 4, która nie jest elementem zbioru {1, 2}; jeśli natomiast, zgodnie z regułą określającą nasze mnożenie specjalne, podzielimy 4 następnie przez p = 3, to otrzymamy resztę 1, która jest elementem naszego zbioru.

i "składać" (w zwykłym, znanym z geometrii elementarnej sensie) translacje. W ten sposób, w każdym z tych trzech przypadków, każdej uporządkowanej parze elementów x, y rozważanego zbioru jest jednoznacznie przyporządkowany pewien trzeci element x o y, będący wynikiem zastosowania do nich odpowiedniej operacji. Jeśli teraz zbadamy własności tej operacji w każdej z tych trzech teorii, to okaże się, z jednej strony, że istnieje między nimi uderzające formalne podobieństwo, z drugiej zaś, że w ramach każdej z nich własności te, ogólnie rzecz biorąc w taki lub inny sposób ze sobą powiązane, dają się jednak wyprowadzić z pewnej niewielkiej liczby własności, które są już od siebie logicznie niezależne. Autor wypisuje pewien ich układ²,

²Oto one: po pierwsze, operacja o jest łączna; po drugie, w każdym z tych trzech przypadków istnieje pewien element e taki, że (dla każdego elementu x) e o x = x o e = x; po trzecie, dla każdego elementu x istnieje zawsze taki element y, że x o y = y o x = e.

pokazuje przykładowo, w jaki sposób odwołując się jedynie do nich udowodnić można, że operacja o ma pewną inną własność³

³Mianowicie: równość x o y = x o z implikuje równość y = z, jakiekolwiek by były elementy x, y, z.

(można by to było zrobić w każdej z tych trzech teorii za pomocą rozumowania dla niej swoistego, ale po co, skoro można to zrobić ogólnie?), i zwraca uwagę na to, że w rozumowaniu tym można było całkowicie a b s t r a h o w a ć o d n a t u r y rozważanych elementów. Skoro zaś w tym przypadku było to możliwe, to czy nie byłoby rzeczą rozsądną (choćby dla oszczędności czasu i wysiłku) spróbować wyprowadzić w taki właśnie ogólny sposób wszystkich logicznych konsekwencji wypisanych własności, konsekwencji, które - po odpowiedniej respecyfikacji natury obiektów i operacji o będą mogły być odtworzone jako twierdzenia tej lub innej teorii szczegółowej, lecz które będą po prostu twierdzeniami o g ó l n e j, aksjomatycznej teorii grup (bo o tę przecież strukturę tu oczywiście chodzi)?⁴

⁴Zob. N. Bourbaki, L'architecture des mathématiques, w: Les grands courants de la pensée mathématique, présentés par F. Le Lionnais, Cahiers du Sud 1948, s. 35-47, 39-40.

Teraz już łatwo wyjaśnić - konkluduje Bourbaki - co należy rozumieć przez s t r u k t u r ę m a t e m a t y c z n ą: każda taka struktura jest pewnym zbiorem złożonym z elementów, których natura n i e j e s t w y s p e c y f i k o w a n a i w którym określone są pewne relacje (w przypadku teorii grup operacja o jest jedyną taką relacją, ale można rozważać struktury o wiele bardziej skomplikowane), od których ż ą d a się, by spełniały pewne explicite wypisane warunki, zwane a k s j o m a t a m i rozważanej struktury. "Budować aksjomatyczną teorię danej struktury to znaczy wyprowadzać logiczne konsekwencje z jej aksjomatów, p o w s t r z y m u j ą c s i ę o d w s z e l k i c h i n n y c h z a ł o ż e ń co do rozważanych elementów (w szczególności, od jakichkolwiek założeń co do ich właściwej natury)"⁵.

⁵Ibidem, s. 40-41.

Zupełnie analogiczne rozważania znaleźć możemy u Frécheta, komentującego swe własne badania matematyczne. Zamysł uogólnienia pewnych elementarnych pojęć analizy klasycznej na przypadek, gdy to, co pomyślane jest jako zmienna (argument), ma być zupełnie uwolnione od jakichkolwiek założeń co do natury obiektów, o które chodzi, prowadzi natychmiast do pytania, w jaki sposób należy dla obiektów tych dobrać odpowiednie definicje. Otóż, jakkolwiek nie ma tu oczywiście możliwości całkowitej eliminacji czynników intuicyjnych, funkcjonują przecież jednak w umyśle matematyka, w sposób bardziej lub mniej świadomy, pewne reguły generalne, z których jedną tak oto można wypowiedzieć: "Istnienie analogii między podstawowymi cechami różnych teorii sugeruje istnienie pewnej teorii ogólnej, dla której tamte są zaledwie pewnymi odgałęzieniami i która unifikuje je o tyle właśnie, o ile chodzi o owe własności podstawowe"⁶.

⁶M. Fréchet, Les mathématiques et le concret, Paris 1955, s. 58.

Jeśli tedy - tak oto można by wszystko to zreasumować - dane są podmiotowi pewne "dziedziny konkretne" D₁, ..., D_n⁷,

⁷"Konkretność" tych dziedzin oznacza to jedynie, że wszystkie one pełnią funkcję "konkretu" wobec "abstrakcyjnej" struktury S, o której konstrukcji mówić będziemy nieco niżej; nie może być natomiast rozumiana w sposób absolutny i nie oznacza w szczególności, że nie mogą istnieć istotne różnice - co do stopnia abstrakcyjności - między dziedzinami D₁,..., D_n.

z których każda - by ograniczyć się do najprostszego przypadku⁸

⁸Pojęcie struktury zdefiniowane tak, jak zostało to zrobione w cytowanych wyżej fragmentach artykułu Bourbakiego (i analogiczne pojęcie "dziedziny konkretnej") nie jest, z punktu widzenia matematycznej praktyki badawczej, dostatecznie ogólne; kwestia ta jednak nie ma w interesującym nas tu kontekście istotnego znaczenia.

- stanowi spełniający określone warunki system relacji wiążących ze sobą wyspecyfikowane co do ich natury elementy pewnego uniwersum, i jeśli da się zaobserwować, że owe relacje mają pewne własności wspólne i właśnie n i e z a l e ż n e o d n a t u r y r o z w a ż a n y c h e l e m e n t ó w, to zawsze można wówczas skonstruować pewną o g ó l n ą i a b s t r a k c y j n ą strukturę S, której uniwersum X składa się już z elementów b y l e j a k i c h, najzupełniej dowolnych, i gdzie warunki, które spełniane być mają przez określone w X relacje charakteryzujące strukturę S, są p o s t u l o w a n e w taki sposób, by odzwierciedlały - niejako na "wyższym poziomie abstrakcji" - owe wspólne własności relacji oryginalnych dziedzin D₁,..., D_n (gdzie własności te traktowane były jako d a n e i obowiązujące w sposób konieczny jako związane z samą naturą rzeczy).

Jest oczywiste, że owej teorii Frécheta-Bourbakiego nie można interpretować po prostu jako opisu okoliczności, w jakich dochodzą do skutku pewnego typu matematyczne procedury poznawcze ani też ich faktycznego przebiegu. Sam fakt występowania pewnych analogii między twierdzeniami różnych teorii nie wystarcza na ogół ani do tego, by rozsądna i poznawczo skuteczna konstrukcja struktury S była możliwa, ani do tego, by - z punktu widzenia podmiotu - była konieczna (o czym, rzecz prosta, tak Fréchet, jak Bourbaki dobrze skądinąd wiedzą). Aby tak było, nagromadzony uprzednio i w jakimś już stopniu zbadany materiał "konkretny" (owe dziedziny D₁,..., D_n, które ex post rozpoznajemy jako przypadki szczególne skonstruowanej struktury) musi być przecież, z jednej strony, dostatecznie obszerny i dostatecznie różnorodny (w przeciwnym bowiem przypadku mogłoby chodzić jedynie o ekstrapolację tej lub innej teorii poza granice jej dziedziny oryginalnej, co wszakże - gdyby podmiot postępując w ten sposób nie spotkał się z wynikającym z takiej właśnie różnorodności materiału stawianym przez materiał ten oporem - nie musiałoby wcale prowadzić do konstrukcji odpowiedniego pojęcia ogólnego), z drugiej zaś - obserwowane podobieństwo dziedzin D₁,..., D_n nie może być podobieństwem byle jakim, lecz określonym, dotyczącym tego, co ważne, i w dostatecznym stopniu dziedziny te ze sobą wiążącym (a pominiemy tu już nawet wiele inych kwestii, choćby zagadnienie szczególnej roli teorii-katalizatorów itp.).

Mimo to jednak analizy Frécheta i Bourbakiego - o ile pojmowane są tylko jako konstrukcja uproszczonego modelu zjawiska - ujawniają przecież samą istotę mechanizmu tego gatunku matematycznych zabiegów, dla którego przykładem bodaj najprostszym i najbardziej typowym jest właśnie przez Bourbakiego opisany proces konstrukcji ogólnego pojęcia grupy, lecz który obejmuje oczywiście dziesiątki i setki procesów analogicznych (procesy tego typu leżą bowiem u podstaw konstrukcji nie tylko takich abstrakcyjnych pojęć ogólnych, jak pojęcie grupy, pierścienia, ciała, przestrzeni liniowej, modułu, algebry, przestrzeni topologicznej itp., ale również tych, którym odpowiadają pewne szczególne klasy grup, pierścieni itp., jak też rozmaitego typu struktury mieszane, takie jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowe unormowane itp., oraz ich specyfikacje)⁹.

⁹Jest oczywiście możliwe, że - na przykład - taka lub inna klasa pierścieni zostaje wzięta pod uwagę z powodów, by tak rzec, czysto eksploracyjnych: "skreślmy (albo dodajmy) ten oto aksjomat i zobaczymy, co się stanie" (np. po to, aby wyjaśnić, które aksjomaty odpowiedzialne są za interesujące nas zjawiska); najczęściej jednak wprowadzone struktury, jeśli nie dawały się zrekonstruować jako coś, co odpowiada pewnemu materiałowi konkretnemu, pozostawały tworami czysto formalnymi, pozbawionymi matematycznego sensu i matematycznych zastosowań.

pozwalając zarazem zrozumieć, że zabiegi te interpretowane być mogą dwojako.

Po pierwsze mianowicie, mogą być one rozumiane jako pewnego typu procedury uogólniające. Procesy, o których mówimy, dochodzą bowiem w istocie rzeczy do skutku dzięki postępowaniu określonemu przez zasadę nakazującą eliminację charakteryzującego daną sytuację matematyczną braku równowagi między rozważanymi obiektami i wykonywanymi na nich operacjami, poprzez konstrukcję stosownego, adekwatnego do owych operacji systemu obiektów, aczkolwiek nie chodzi tu ani o zwykłe rozszerzenie zbyt wąskiej klasy obiektów pierwotnie danych (co jest najbardziej typowym zabiegiem uogólniającym), ani o żadną z klasycznych konstrukcji polegających na dołączeniu do klasy oryginalnej tzw. "elementów idealnych". Tu bowiemj tworzymy system przedmiotów idealnych w tym znaczeniu, że konstruujemy owe obiekty "najzupełniej dowolne", obiekty stanowiące wyłącznie nośniki pewnych operacji i jako takie właśnie "idealnie" do nich dopasowane. Jak pisze Cavaillès, chodzi tu - krótko mówiąc - o "ukonstytuowanie nowych obiektów jako korelatów operacji uznanych za autonomiczne"¹⁰.

¹⁰J. Cavaillès, Methode axiomatique et formalisme, Paris 1937, s. 172.

Ale gdy Le Roy - tę samą przecież kwestię mając na myśli - mówi w pewnym miejscu o definicjach matematycznych, że każda z nich "konstytuuje obiekt, który nie istnieje poza samym tym aktem i który redukuje się w końcu do pewnej grupy operacji"¹¹,

¹¹E. Le Roy, La pensée mathématiąue pure, Paris 1960, s. 76.

dodaje natychmiast, że to właśnie mamy na myśli wtedy, gdy określamy matematykę jako naukę a b s t r a k c y j n ą; i tu pojawia się owa druga interpretacja, bardziej nawet zgodna z oryginalną intencją Bourbakiego. Intencją tą było wyjaśnienie - poprzez odwołanie się do pojęcia struktury - sensu i roli metody aksjomatycznej. Czy jednak nie jest prawdą, że - jak powiada Gonseth - ów sens i rola sprowadzają się do tego właśnie, że umożliwia ona tworzenie odpowiednich pojęć abstrakcyjnych i sprawne nimi operowanie¹²,

¹²Zob. F. Gonseth, La logique en tant que physique de 1'objet ąuelconąue, w: Philosophie des mathématiques. Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, fasc. VI, Paris 1936, s. 6.

że - jak podkreśla sam Bourbaki - w ramach koncepcji aksjomatycznej matematyka staje się czymś w rodzaju "zbiornika f o r m abstrakcyjnych - struktur matematycznych"¹³,

¹³N. Bourbaki, op. cit., s. 46.

że wreszcie - jak to explicite stwierdza Fréchet - z obiektem abstrakcyjnym mamy do czynienia wtedy właśnie, gdy chodzi o "taki lub inny zbiór złożony z elementów tej samej, ale albo nieznanej, albo z rozmysłem ignorowanej natury"¹⁴,

¹⁴M. Frechet, op. cit., s. 64; por. s. 68.

która to cecha charakteryzowała przecież obiekty konstruowane opisaną metodą?

Co jednak - ogólnie rzecz biorąc - mamy na myśli, gdy mówimy o owej "abstrakcyjności" struktur matematycznych lub nawet matematyki jako takiej, "abstrakcyjności" rozumianej bądź jako jej cecha generalna, bądź jako wartość, do której się dąży, bądź jako tendencja ewolucyjna wiedzy matematycznej? Owymi terminami "abstrakt", "konkret", "abstrakcja" posługujemy się bowiem często, odwołując się każdorazowo do ich intuicyjnego znaczenia; pewien ich sens ujawnia przytoczona przed chwilą "definicja" Frecheta; o co tu jednak chodzi i czy jest to jedyny sens, jaki się terminom tym w matematyce nadaje? Czym jest, na czym polega - ogólnie rzecz biorąc - abstrakcja matematyczna?

Zgodnie z klasyczną teorią abstrakcji¹⁵,

¹⁵Wiemy dobrze, że sformułowanie to jest pewnym nadużyciem, ponieważ nie jest wcale jasne, czy o takiej "klasycznej" teorii abstrakcji można w ogóle mówić. Nie mając tu jednak miejsca na wchodzenie w dosyć zawiłe szczegóły, musimy się ograniczyć do wyjaśnienia, że chodzi nam tu o tę zazwyczaj od Arystotelesa (słusznie czy niesłusznie) wywodzoną koncepcję abstrakcji, która - będąc niejaką syntezą wyników rozważań filozoficznych, logicznych i psychologicznych - była od dawna i jest też dziś dosyć szeroko rozpowszechniona i często prezentowana jako "klasyczna" właśnie w metodologicznych, logicznych i psychologicznych encyklopediach i podręcznikach.

gdy o owej abstrakcji czy abstrahowaniu mówimy, mamy zawsze na myśli taką sytuację, w której podmiot - w obecności danej mnogości przedmiotów X, dla których mają sens własności w₁,...,w_k - dokonuje zabiegu, mającego przebiegać według mniej więcej takiego oto schematu. Pierwszym krokiem byłoby zawsze niejakie r o z d z i e l e n i e, odseparowanie od siebie owych mogących przysługiwać rozważanym przedmiotom własności w₁,...,w_k - mimo że w rzeczywistości występują one z reguły jako ze sobą powiązane. Wówczas staje się możliwy krok drugi, polegający na w y r ó ż n i e n i u jednej z tych własności, powiedzmy w₁, uważanej w danym momencie z takich czy innych powodów za i s t o t n ą (i z a n i e d b a n i u zarazem wszystkich pozostałych, jako n i e i s t o t n y c h właśnie), i następnie - by tak rzec - "zlepieniu" ze sobą tych wszystkich elementów mnogości X, którym owa własność w₁ przysługuje, zupełnie niezależnie od tego, co się dzieje z własnościami pozostałymi, by wreszcie nawet - jeśli się ma tyle ontologicznej odwagi - samą tak utworzoną podklasę mnogości X wziąć pod uwagę jako taką, opatrzyć stosowną nazwą i potraktować jako coś w rodzaju nowego indywiduum.

"Że na takiej właśnie drodze tworzył człowiek pierwotne idee ogólne i ich ogólne nazwy, to, jak myślę - powiada Locke - jest tak oczywiste, że nie trzeba tu żadnego innego dowodu niż obserwacja samego siebie i innych osób oraz zwykłych operacji umysłu, gdy zdobywa wiedzę. Kto zaś mniema, że ogólna natura rzeczy lub pojęcia ogólne są czymś innym niż tego rodzaju oderwanymi i cząstkowymi ideami, powstającymi z idei bardziej złożonych, które się wywodzą ostatecznie od istnień poszczególnych, ten, obawiam się, będzie miał kłopot z tym, gdzie ich szukać. Niechże się zastanowi i zechce mi następnie powiedzieć, czym jego idea 'człowieka' różni się od idei 'Piotra' i 'Pawła' albo idea 'konia' od idei 'Bucefała', jeśli nie tym właśnie, że w tych ideach ogólniejszych zostało pominięte coś, co właściwe każdemu poszczególnemu osobnikowi, a zachowane ze wszystkich owych poszczególnych złożonych idei rozmaitych jednostkowych istnień to, co się okazało w nich zgodne i wspólne?"¹⁶.

¹⁶J. Locke, Rozważania dotyczące rozumu ludzkiego, t. II, Warszawa 1955, s. 23-24.

Umiejętność abstrahowania jest umiejętnością "skupiania rzeczy w gatunki pod ogólnymi nazwami", "rozważania rzeczy jak gdyby pękami, i mówienia tak o nich"; dzięki temu "idee, jakie dają rzeczy poszczególne, stają się powszechnymi przedstawicielami wszystkich rzeczy tego samego rodzaju, a ich nazwy stają się nazwami ogólnymi, które dają się stosować do wszelkich rzeczy, jakie odpowiadają tym ideom oderwanym"¹⁷.

¹⁷Zob. ibidem, t. II, s. 20 i 35 oraz t. I, s. 202.

Że wszystko to właśnie nie jest wcale tak jasne i oczywiste, jak zdaje się sądzić Locke, o tym chyba nikogo przekonywać nie trzeba; nie będziemy tu jednak wchodzić w drażliwe szczegóły i ograniczymy się jedynie do podkreślenia tego, co w całej tej sprawie jest z naszego punktu widzenia szczególnie istotne i interesujące.

Po pierwsze - by w pewnym sensie zacząć od końca - zwrócić trzeba uwagę na sam ów finałowy akt całego procesu, akt, w którym podmiot bierze pod uwagę i czyni bezpośrednim przedmiotem swego myślenia coś, co w istocie jest pewną k l a s ą rzeczy, lecz co już teraz samo jako j e d n a r z e c z jest pomyślane. Nie chodzi nawet o to, czy o tej nowej rzeczy jesteśmy skłonni powiedzieć, że istnieje tak samo, jak pierwotnie dane przedmioty, z których została utworzona, czy też będziemy twierdzić, że istnieje ona tylko "w umyśle", w odróżnieniu od tamtych, które istnieją "w rzeczywistości"; chodzi jedynie o sam ów akt "wzięcia klasy jako elementu", jako rzeczy, jako przedmiotu jednostkowego, jako indywiduum. Gdyby tego właśnie aktu nie było, nie byłoby też jeszcze w istocie rzeczy jakiejkolwiek abstrakcji; nie bez powodu przecież Quine wręcz definiuje "symbol abstrakcji" jako napis postaci "{x:...}", który czytamy: "zbiór (klasa) wszystkich x-ów takich, że..."¹⁸.

¹⁸Zob. np. W. V. O. Quine, Filozofia logiki, Warszawa 1977, s. 97, także s. 104-105.

Aby wszakże można być utworzyć "klasę wszystkich x-ów takich, że...", trzeba uprzednio wiedzieć, co chcemy wpisać w miejsce owych trzech kropek następujących po zwrocie "takich, że"; inaczej mówiąc, trzeba najpierw w y r ó ż n i ć własność, o którą chodzi. Ponieważ jednak jest przecież tak, że - jak powiada Berkeley- "jakości czy modi rzeczy nigdy w rzeczywistości nie istnieją z osobna, same przez się i w oderwaniu od wszystkich innych, lecz że wiele z nich jest w tym samym przedmiocie jak gdyby pomieszanych i zespolonych ze sobą"¹⁹,

¹⁹G. Berkeley, Traktat o zasadach poznania ludzkiego, Warszawa 1956, s. 10.

więc oznacza to, że trzeba umieć p o m i n ą ć, jakoś usunąć z pola widzenia wszystkie inne własności, wszystkie poza tą jedną. I to jest właśnie ów drugi moment, na który chcemy zwrócić uwagę i który bardzo podkreśla np. Berlyne, uznający abstrakcję za jeden z dwu głównych - obok mechanizmu uwagi - "mechanizmów odrzucania informacji". "Informacja - powiada on - polega na wyborze między alternatywnymi możliwościami, czynieniu rozróżnień, odzwierciedlaniu różnorodności. Gdy ignoruje się różnice, gdy rzeczy, które nie są identyczne, traktuje się jako równoważne, gdy redukuje się różnorodność - informacja zostaje stracona. Wspominaliśmy już, że gdy informację z szeregu źródeł wejściowych wprowadza się jednocześnie do kanału, a ogólna ilość tej informacji przekracza przepustowość kanału, to istnieją dwa sposoby pozwalające, aby tylko część napływającej informacji osiągnęła wyjście. Może to być przekazanie całej informacji pochodzącej z jednego wejścia i zablokowanie informacji z innych wejść lub przekazanie części informacji z każdego wejścia. Uwaga odpowiada pierwszemu z tych rozwiązań [...] Abstrakcja, z drugiej strony, polega na uzależnianiu zewnętrznego zachowania od pewnych właściwości konfiguracji bodźcowej, z pominięciem innych jej właściwości. Oznacza to - zgodnie z terminologią logików i matematyków - utworzenie tzw. k l a s y r ó w n o w a ż n o ś c i sytuacji bodźcowych, które mają pewne cechy wspólne, choć różnią się pod innymi względami, oraz reagowanie w ten sam spossób na wszystkie sytuacje należące do tej klasy"²⁰.

²⁰D. E. Berlyne, Struktura i kierunek myślenia, Warszawa 1969, s. 64-65.

Tak tedy, jeśli się obie kwestie zsumuje, można by - jak się zdaje - powiedzieć, że omawiana koncepcja sprowadza się w końcu do poglądu, zgodnie z którym wszelkie abstrahowanie jest w gruncie rzeczy czymś w rodzaju podziału danego (niepustego) uniwersum X na klasy (niepuste, parami rozłączne i takie, że ich suma wypełnia całe uniwersum), czyli - bowiem jest to równoważne - czymś w rodzaju wykonywanej w X konstrukcji ilorazowej względem pewnej relacji równoważności R; tu także przecież ni jest rzeczą przypadku, że Rasiowa nazywa twierdzenie, wedle którego relacja taka określona w zbiorze niepustym wyznacza podział tego zbioru na klasy, "zasadą identyfikacji elementów równoważnych" albo "zasadą abstrakcji" właśnie²¹

²¹H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa 1971, s. 87.

i że Maurin mówi wręcz, iż "z podziałem na klasy wiąże się jedna z najciekawszych własności umysłu ludzkiego: zdolność abstrahowania, polegająca na tym, że pomija się różnice między elementami tej samej klasy, a klasy ujmuje się jako nowe indywidua ('abstrahuje się od różnic indywidualnych'). Na pierwszy rzut oka - dodaje od razu Maurin - zdawałoby się, że abstrahowanie zuboża świat pojęć, lecz jest właśnie przeciwnie: większość pojęć (np. matematycznych) powstała i powstaje przez przechodzenie do przestrzeni ilorazowej X/R względem relacji równoważności R"²².

²²K. Maurin, Analiza, t. I, Warszawa 1971, s. 18.

Dwie rzeczy przeto możemy chyba uważać za pewne: po pierwsze to, że wszelka procedura, dająca się interpretować jako pewna konstrukcja ilorazowa, jest zabiegiem, o którym - zgodnie zarówno z tradycją filozoficzną, jak też z dosyć powszechnym odczuciem logików i matematyków - możemy powiedzieć przynajmniej tyle, że ową czynność abstrahowania zawiera w sobie jako składnik istotny i epistemologicznie znaczący; po drugie zaś to, że tego rodzaju zabiegi podejmowane są w matematyce - począwszy od najbardziej elementarnych poziomów matematycznej praktyki badawczej do najbardziej zaawansowanych - raczej często i często też z dobrym skutkiem.

Powstaje jednak pytanie, czy mamy tu do czynienia z modelem uniwersalnym, tzn. czy rzeczywiście wszelka abstrakcja matematyczna daje się zrekonstruować jako taki właśnie proces dzielenia pewnego zbioru (lub ogólniej - pewnej struktury) przez pewną relację równoważności (kongruencję). Czy, w szczególności, daje się ująć w ten sposób abstrakcja, o której mówiliśmy w poprzedniej części tej pracy, kiedy to chodziło o proces, w którym podmiot był w stanie pominąć już nie tylko p e w n e własności rozważanych przedmiotów, ale w pewnym sensie zaniedbać i odrzucić jako nieistotne po prostu w s z y s t k i e własności, w taki sposób, że przedmioty te stawały się owymi obiektami najzupełniej dowolnej, byle jakiej natury? Bo przecież trudno nie zgodzić się z intuicją, że w tym przypadku również mamy do czynienia z abstrakcją, i to może nawet z abstrakcją par exellence i abstrakcją sui generis, właściwą matematyce i - jak się zdaje - tylko matematyce właśnie.

Sam Fréchet zdaje się nie dostrzegać tu żadnej różnicy jakościowej; zresztą, istotnie, gdyby rzecz się do tego sprowadzała, czy pomijamy wszystkie, czy tylko niektóre własności rozważanych przedmiotów, różnicy takiej zapewne by nie było. Można przecież - rozumowanie to z pozoru przynajmniej wygląda na rozsądne - abstrahować od czegoś, potem jeszcze od czegoś, i jeszcze, aż wreszcie - od wszystkiego. Jest to wszakże różnica - by tak rzec - ilościowa lub, jeśli kto woli, pewnego rodzaju "przejście do granicy", przy którym jednak nic się, co do istoty rzeczy, nie zmienia.

Przecież jednak nie tylko o to tu chodzi, ale również - i nawet przede wszystkim - o sposób, w jaki owa abstrakcja "od wszystkiego" dochodzi do skutku. Jeśli dany jest dowolny zbiór X, to zawsze można, abstrahując od wszelkich różnic między jego elementami, podzielić X przez relację totalną T = X x X, by otrzymać w ten sposób jedną klasę równoważności, którą jest sam zbiór X traktowany odtąd już jako pewne indywiduum. Ale czy z tego typu abstrakcją mamy do czynienia wtedy, gdy metodą Frécheta-Bourbakiego konstruujemy ogólne pojęcie grupy czy przestrzeni metrycznej lub gdy - ogólniej - bierzemy pod uwagę w rozumowaniu jakimkolwiek pewne obiekty z jednej strony w jakimś sensie "konkretne", z drugiej zaś najzupełniej dowolne, których żadne własności indywidualne lub których "natura" nie ma (o ile chodzi o prawomocność tego rozumowania) żadnego znaczenia i które - w tym właśnie sensie - są jakoś "abstrakcyjne"? Jeśli nie (a sądzimy, że nie), to jaka jest natura owej abstrakcji "od natury"?

III

W tym właśnie miejscu interweniuje Beth²³,

²³Zob. np. E. W. Beth, J. Piaget, Epistémologie mathématique et psychologie, "Etudes d'épistémologie génétique", publiées sous la direction de Jean Piaget, XIV, Paris 1961, rozdz. I.

zwracając uwagę na to, że pytanie to, nieco inaczej i cokolwiek ogólniej sformułowane, nie jest przecież niczym innym niż tym klasycznym zagadnieniem, którego doniosłość w pełni uświadamiali sobie dawni filozofowie, w odróżnieniu od logików współczesnych, i które już raz tu, w pierwszym akapicie naszego szkicu, się pojawiło. Powtórzmy: jak jest możliwe, że rozumowania matematyczne, których poznawczej skuteczności prawdziwą istotą i autentyczną podstawą jest zawsze i nieuchronnie swoisty kontakt podmiotu z matematycznym obiektem najzupełniej konkretnym i jednostkowym, i które wcale nie polegają i - z uwagi na nieskończone rozmiary rozważanych klas przedmiotów - nie mogą polegać na jakiejkolwiek indukcji zupełnej, stanowią jednak, z punktu widzenia podmiotu, wystarczające uzasadnienie twierdzeń "pewnych", "koniecznych" i "uniwersalnych", tzn. odnoszących się do w s z y s t k i c h elementów badanej klasy?

Fakt, że nie ma sposobu uniknięcia, w jakimkolwiek akcie matematycznego poznania, owej swoistej fazy pośredniej, w której uwaga podmiotu kieruje się na obiekt jednostkowy i konkretny, jest - z formalnego punktu widzenia - zupełnie nieuchwytny i zresztą nieistotny. W perspektywie epistemologicznej wszakże sprawa wygląda inaczej. Oto - by odwołać się tu do najprostszego przykładu - gdy chcemy udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A, B i C, takich że A ⊂ B i B ⊂ C, ma także miejsce inkluzja A ⊂ C, zaczynamy rozumowanne od słów " n i e c h b ę d ą d a n e dowolne zbiory A, B i C spełniające założenia twierdzenia i n i e c h b ę d z i e d a n y dowolny element x zbioru A; otóż, ponieważ... itd." Co jednak znaczy owa formuła "n i e c h b ę d z i e d a n y d o w o l n y o b i e k t ..."? Z jednej strony, obiekt ten jest (i musi być, jeśli rozumowanie nasze ma być dowodem matematycznym) n a j z u p e ł n i e j d o w o l n y , z drugiej strony mmusimy jednak ten obiekt jakoś choćby na chwilę, na czas rozumowania, u s t a l i ć , potraktować jako coś j e d n o s t k o w e g o i k o n k r e t n e g o - inaczej bowiem matematyk po prostu nie może myśleć. W tym sensie wszelkie w ogóle "wzięcie elementu x₀ zbioru (klasy) X" jest konkretnym działaniem na konkretnym obiekcie, choć natura elementów zbioru X nie musi być (aczkolwiek oczywiście może być) wyspecyfikowana, a element x₀ nie musi (choć może) różnić się od innych elementów tego zbioru czymkolwiek poza tym, że to on właśnie zostaje wzięty pod uwagę. Tak właśnie rzeczy się mają wtedy, gdy chcemy udowodnić, że suma kątów w każdym trójkącie równa się dwu kątom prostym i gdy zaczynamy od słów "niech będzie dany dowolny trójkąt ABC". Tak samo, gdy - zamierzając pokazać, że każda grupa cykliczna jest abelowa - mówimy najpierw "niech będzie dana dowolna grupa cykliczna G" itp. I nie należy przy tym sądzić, że z sytuacją taką mamy do czynienia wtedy tylko, gdy zaczynamy dowodzenie, w rzeczywistości bowiem niemal na każdym kroku niemal każdego rozumowania matematycznego dokonujemy owych aktów "wzięcia" (taki jest bowiem przecież epistemologiczny sens słów "niech dany będzie") obiektu z jednej strony dowolnego, z drugiej jednak w jakimś sensie ustalonego i konkretnego. Ale też obiektu, który by nie był taki, nie można by przecież w ogóle - w matematycznym sensie tego słowa - "wziąć"; czujemy wyraźnie, że podmiot bezpośrednio uchwycić może obiekt matematyczny tylko jako przedmiot pewnego aktu konkretnego i do czegoś jednostkowego odniesionego. Taka była - jak się zdaje - idea Kartezjusza, gdy twierdził on, że nie ma i nie może być rozumowania matematycznego bez interwencji tego, co nazywał i n t u i c j ą²⁴

²⁴Zob. komentarze Betha w książce cytowanej w przyp. poprzednim, §§ 1-5.

i taka też była idea Kanta, gdy w następujący sposób opisywał różnicę między poznaniem filozoficznym i matematycznym: "Dajcie filozofowi pojęcie trójkąta i każcie mu na jego sposób wynaleźć, jak się ma suma jego kątów do kąta prostego. Nie ma on wtedy nic innego, jak tylko pojęcie pewnej figury zamkniętej trzema prostymi tudzież pojęcie tyluż kątów w niej [występujących]. Może on rozmyślać nad tym pojęciem, jak długo mu się podoba, lecz nie wynajdzie nic nowego. Może on rozkładać i ujaśniać pojęcie linii prostej lub kąta, lub liczby trzy, ale nie może natrafić na inne własności, które w tych pojęciach nie są wcale zawarte. Niechże jednak geometra weźmie to pytanie pod rozwagę. Zaczyna on od razu od tego, że k o n s t r u u j e p e w i e n t r ó j k ą t" i następnie, "w c i ą ż w i e d z i o n y p r z e z d a n e n a o c z n e, dochodzi w łańcuchu wniosków do całkowicie zrozumiałego, a zarazem ogólnego rozwiązania zagadnienia" [podkreślenia A. L.]²⁵.

²⁵I. Kant, Krytyka czystego rozumu, t. II, Warszawa 1957, s. 456-457.

Wszystko to wszakże odnosi się do jednej tylko strony zagadnienia; odpowiedzieć trzeba bowiem również na pytanie, w jaki sposób takie właśnie "rozwiązanie ogólne" matematyk może w tej sytuacji uzyskać. Kartezjusz - pozostaniemy przy tymi samym przykładzie - odwoływał się tu do "istoty trójkąta", Locke - do (ogólnej i oderwanej) "idei trójkąta" lub do "trójkąta ogólnego"²⁶.

²⁶Zob. np. J. Locke, op. cit., t. II, s. 301-302.

Berkeley odrzucił oba rozwiązania, przedstawiając wlaisną koncepcję w następującym fragmencie, który trzeba przytoczyć niemal w całości:

"Wiem o tym, że kładzie się wielki nacisk na to, iż wszelka wiedza i dowodzenie odnosi się do pojęć ogólnych, i w pełni się z tym zgadzam. Wszelako nie wydaje mi się, aby te pojęcia były utworzone przez abstrakcję sposobem wyżej wyłożonym [tzn. abstrakcję w sensie Locke'a - A. L.]; powszechność bowiem, o ile mogę zrozumieć, nie polega na jakiejś absolutnej pozytywnej naturze czy ujęciu czegokolwiek, lecz na stosunku, w jakim pozostaje do jednostek, które oznacza lub reprezentuje; wskutek tego właśnie rzeczy, nazwy czy pojęcia, będące z własnej swej natury szczegółowe, stają się powszechne. Tak więc przypuszcza się, że gdy udowadniam jakieś twierdzenie tyczące się trójkątów, mam na myśli ogólną ideę trójkąta; czego nie należy rozumieć tak, jakobym mógł utworzyć ideę trójkąta, który by nie był ani równoboczny, ani różnoboczny, ani równoramienny; lecz tylko tak, że poszczególny trójkąt, który rozważam, obojętne jakiego rodzaju, zastępuje i reprezentuje jednakowo wszelkie możliwe trójkąty prostoliniowe i w tym znaczeniu jest powszechny. To wszystko wydaje się bardzo jasne i nie zawiera żadnej trudności.

Lecz tu nasunie się pytanie, skąd mamy wiedzieć, że jakieś twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich poszczególnych trójkątów, jeżeli nie zostało to wprzód udowodnione dla abstrakcyjnej idei trójkąta w równej mierze zgodnej ze wszystkimi trójkątami? [...] Na co odpowiadam, że jakkolwiek w czasie przeprowadzania dowodu ideą, którą mam na myśli, jest w danym przypadku idea trójkąta równoramiennego i prostokątnego, o bokach określonej długości [można, przystępując do dowodu twierdzenia, o które chodzi, "wziąć" taki akurat trójkąt i ten przykład analizuje Berkeley w opuszczonym tu przez nas fragmencie - A. L.], to przecież mogę być pewny, iż d o w ó d r o z c i ą g a s i ę n a w s z y s t k i e i n n e t r ó j k ą t y prostoliniowe dowolnego rodzaju czy wielkości. A to dlatego, że ani kąt prosty, ani równość boków, ani określona ich długość n i e s ą w c a l e b r a n e p o d u w a g ę w d o w o d z i e. Prawda, że wykres, który mam na myśli, zawiera w sobie wszystkie te szczegóły, jednakże w dowodzie twierdzenia nie ma o nich najmniejszej wzmianki. Wcale się nie mówi, że suma tych trzech kątów jest równa dwu prostym dlatego, że jeden z nich jest kątem prostym, lub dlatego, że zamykające go boki mają tę samą długość. To zaś wskazuje wystarczająco, iż kąt prosty mógłby być ostry, a boki nierówne, a mimo to d o w ó d z a c h o w a ł b y s w ą w a ż n o ś ć (wszystkie podkreślenia - A. L.]²⁷.

²⁷G. Berkeley, op. cit., s. 21-23.

Powtórzmy zatem pytanie, o które chodzi (to właśnie jest "problem Locke'a-Berkeleya"): skoro owe szczególne własności trójkąta, o którym myślę, nie są w dowodzie brane pod uwagę, to do czego jest nam potrzebna kartezjańska intuicja przedmiotu indywidualnego i dlaczego istotnie - dokładnie tak, jak to z nadzwyczajną wnikliwością zaobserwował Berkeley - nie możemy, w rozumowaniu matematycznym, kontemplować loocke'owskiej ogólnej idei trójkąta, który "nie może [...] być ani ostrokątny, ani prostokątny, arii równoboczny, ani równoramienny, ani różnoboczny, lecz na raz wszystkim tym i niczym"²⁸,

²⁸J. Locke, op. cit., t. II, s. 302.

ale - przeciwnie - musimy zawsze badać pewien konkretny, wyposażony w określone własności trójkąt ABC, o którym powiadamy na początku "niech będzie dany"? Ale w jaki sposób możemy wówczas własności tych i cech indywidualnych zupełnie nie brać pod uwagę i abstrahować od wszystkiego, z wyjątkiem tego, że jest to trójkąt właśnie? Inaczej mówiąc, dlaczego matematyk nie może nigdy obejść się bez owego kontaktu z konkretem, a jednak "stale wiedziony przez dane naoczne" - jak mówi Kant - może przecież uzyskiwać owe "rozwiązania ogólne", formułować twierdzenia uniwersalne? Jest to zjawisko, które dla matematyki właśnie jest charakterystyczne i które odróżnia ją, na przykład, od poznania filozoficznego.

"Poznanie filozoficzne - tłumaczy Kant - jest poznaniem rozumowym [uzyskiwanym] na podstawie pojęć, matematyczne poznanie zaś poznaniem na podstawie konstrukcji pojęć. Skonstruować zaś pojęcie to znaczy przedstawić odpowiadającą mu naoczność a priori. Dla konstrukcji pojęcia wymagana jest więc naoczność nieempiryczna, która przeto - jako naoczność - jest przedmiotem je d n o s t k o w y m, ale mimo to jako konstrukcja pojęcia (ogólnego przedstawienia) musi w przedstawieniu wyrazić p o w s z e c h n ą w a ż n o ś ć dla wszystkich możliwych danych naocznych, które podpadają pod to samo pojęcie. Konstruuję więc trójkąt przedstawiając przedmiot odpowiadający temu pojęciu albo: za pomocą samej tylko wyobraźni w naoczności czystej, albo wedle niej także na papierze w naoczności emjpirycznej, ale w obu wypadkach całkowicie a priori, nie zapożyczywszy na to wzoru z żadnego doświadczenia. Każda wyrysowana figura i n d y w i d u a l n a jest empiryczna, a mimo to służy do wyrażenia pojęcia b e z s z k o d y d l a j e g o o g ó l n o ś c i, ponieważ przy tej empirycznej naoczności z w a ż a s i ę z a w s z e t y l k o n a c z y n n o ś ć k o n s t r u o w a n i a p o j ę c i a, dla którego zupełnie obojętnych jest wiele określeń [danej figury], np. wielkości, boków i kątów, i wobec tego a b s t r a h u j e s i ę o d t y c h r ó ż n i c, k t ó r e n i e z m i e n i a j ą p o j ę c i a t r ó j k ą t a. Poznanie filozoficzne rozważa więc to, co szczegółowe, tylko w tym, co ogólne, matematyczne zaś to, c o o g ó l n e, w t y m, c o s z c z e g ó ł o w e, a n a w e t w t y m, c o j e d n o s t k o w e, ale mimo to a priori i za pomocą rozumu, tak iż podobnie jak owo coś jednostkowego jest określone pod pewnymi ogólnymi warunkami konstrukcji, tak też przedmiot pojęcia, któremu to coś jednostkowego odpowiada jedynie jako jego s c h e m a t, musi być pomyślany [jako] ogólnie określony" [wszystkie podkreślenia - A. L.]²⁹.

²⁹I. Kant, op. cit., t, II, s. 453-454.

Jest wszakże jeszcze jeden autor, którego sam Beth w kontekście tym nie wymienia, lecz którego idee mają - jak się wydaje - dla całej sprawy znaczenie fundamentalne. Jest nim Poincaré, człowiek, którego poglądy (niezależnie od tego, co on sam o tym myślał) były - w każdym razie w odniesieniu do kwestii, o której mówimy - bardzo zbliżone do podstawowych założeń doktryny Kanta, i który na pewno wiedział dokładnie, na czym polega twórcza praca matematyka.

Dobrze znana jest obiegowa interpretacja długiej, gwałtownej i - jeśli chodzi o bezpośrednie efekty - bezowocnej dyskusji, jaka toczyła się swego czasu mliędzy Poincarém a "logistykami", interpretacja, zgodnie z którą podstawowym argumentem, jaki wysuwał Poincare przeciwko logicystycznej tezie głoszącej możliwość tzw. (nie jest w tym miejscu istotne, co dokładnie miałoby to znaczyć) "redukcji matematyki do logiki", był nie logiczny właśnie, ale swoiście matematyczny charakter zasady indukcji matematycznej. Zresztą istotnie, gdy w jednym ze swych pierwszych filozoficznych artykułów³⁰

³⁰H. Poincaré, Sur la nature du raisonnement mathématique, "Revue de Métaphysique et de Morale", 2, 1894, s. 371-384; artykuł ten cytujemy dalej według jego nieco zmodyfikowanej wersji wchodzącej w skład książki La science et l'hypothèse, Paris 1968, s. 31-45.

autor - stawiając jako problem generalny pytanie o to, w, jaki sposób matematyka może być twórcza i niezawodna zarazem - próbuje udowodnić, że rozumowanie matematyczne jest w rzeczy samej twórcze, odwołuje się do tejże zasady indukcji (a sprawa ta również później jest głównym punktem spornym, wokół którego toczy się cała dyskusja). Zastosowanie tego sposobu rozumowania - powiada przy tym - odnaleźć można, w takiej lub innej wersji, na każdym kroku twórczej pracy matematyka - oto więc rozunnowanie matematyczne par excellence, którego naturę filozof poddać musi analizie³¹.

³¹H. Poincare, La science et l'hypothèse, op. cit., s. 38.

Pytaniemi zaś, na które trzeba tu odpowiedzieć przede wszystkim (jeśli się nie akceptuje tezy, że zasadę, o którą chodzi, można wyprowadzić z czegoś, co byłoby od niej w jakimś sensie bardziej pierwotne), jest pytanie, dlaczego narzuca się ona umysłowi z tak nieodpartą oczywistością. Otóż - odpowiada Poincare - jest tak dlatego, że zasada ta jest jedynie niejako zewnętrznym, dyskursywnym odpowiednikiem intuicyjnej oczywistości, z jaką podmiot pojmuje pewną swą zdolność szczególną: zdolność do każdorazowego wyobrażenia sobie procesu nieograniczonego iterowania wszelkiego aktu, który choć raz okazał się być możliwy³².

³²Zob. ibidem, s. 41: "C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte dès que cet acte est une fois possible. L'esprit a de cette puissance une intuition directe et l'expérience ne peut être pour lui qu'une occasion de s'en servir et par la d'en prendre conscience".

Właściwa interpretacja tego zdania jest kluczem do zrozumienia myśli Poincarégo. Najbardziej bodaj rozpowszechnione w literaturze jest przekonanie, że autor ma tu jakoby na myśli intuicję iteracji operacji "brania następnika liczby naturalnej" (operacji "+1"), a interpretacja ta ma zapewne swe źródło w samej postaci założenia indukcyjnego. Przecież jednak - zwróćmy na to uwagę - założenie indukcyjne stwierdza, że to, co jest prawdą dla liczby k, jakakolwiek by ona była, jest też prawdą dla liczby k+1, to zaś wcale nie jest tym samym, co stwierdzenie możliwości iteracji operacji "+1". Poincare mówi o nieograniczonym powtarzaniu t e g o s a m e g o a k t u, ale bynajmniej nie mówi, że aktem tym jest dodanie jedynki. Podobnie gdy w innym miejscu autor (w zwliązku z problemem genezy pojęcia liczby wymiernej) rozważa operację wprowadzenia, na skali liczb naturalnych, wartości pośrednich (środków odcinków postaci [n, n+1] dla n = 0, 1, 2,...), którą to operację można powtarzać w nieskończoność, dodając za każdym razem środki odcinków już uzyskanych, komentuje ów proces tak oto. Wszystko - powiada - dzieje się tak samo, jak w przypadku konstrukcji ciągu liczb naturalnych. Tam, dołączając na każdym kroku liczbę n+1 do uzyskanego już wcześniej zbioru {0, 1, 2,..., n}, mieliśmy ową intuicyjną pewność, że - aczkolwiek de facto nie możemy nigdy przeliczyć nieskończonej liczby przedmiotów - sama nasza zdolność do postępowania w ten sposób nie ma jakichkolwiek z góry ustalonych granic. Zupełnie tak samo tu, w przypadku operacji dzielenia odcinków, mamy tę samą pewność, że - choć w każdym, momencie dokonaliśmy zaledwie skończonej liczby kroków - operacja ta, in posse, może być kontynuowana bez ograniczeń i bez końca. Tu zatem, owszem, mówi się o iteracji operacji "+1", lecz przecież możliwość iteracji tej operacji jest jedynie przypadkiem szczególnym możliwłości iteracji operacji d o w o l n e j, zupełnie tak samo jak możliwość nieograniczonego powtarzania operacji "zagęszczania" ciągu liczb naturalnych. Wreszcie - by odwołać się do jeszcze jednego przykładu - warto zwrócić uwagę na to, że dokładnie tę samą ideę odnajdujemy także w zupełnie innym kontekście (nie związanym już w ogóle z pojęciem liczby), kiedy to Poincaré - komentując pewien warunek istotny dla możliwości konstrukcji pojęcia przestrzeni (szczegóły nie mają tu znaczenia) - powiada: oto ruch (w sensie geometrycznym), który był raz możliwy, może być powtórzony jeszcze raz, i jeszcze trzeci raz, i tak dalej - otóż ta właśnie możliwość stanowi podstawę "faktów geometrycznych", dokładnie tak samo, jak zdolność do nieograniczonej iteracji operacji rozważanych w przypadku liczb naturalnych czy wymiernych była fundamentem poznawczej skuteczności i prawomocności odnoszących się do nich rozumowań³³.

³³Zob. ibidem, s. 53 i 68; także s. 171-172.

Nie wydaje się tedy, by istotnie chodziło Poincarému - gdy podkreśla on ów swoiście matematyczny charakter rozumowania rekurencyjnego - o samą tylko możliwość iteracji operacji dodawania jedynki, jak zdaje się sądzić większość interpretatorów (zresztą, gdyby tak miało być, nie byłoby jasne, dlaczego Poincare twierdzi, że rozumowanie to występuje w matematyce "na każdym kroku"); rzecz jest, zdaje się, nieco głębiej ukryta, choć odnajdziemy ją łatwo, jeśli się owej metodzie dowodu przez indukcję przyjrzymy dokładniej.

W jaki bowiem sposób - ściśle rzecz biorąc - dowodzimy (za pomocą tej metody) takiego lub innego twierdzenia odnoszącego się do liczb naturalnych, tzn. twierdzenia postaci "dla każdej liczby naturalnej n, φ (n)"? Sprawdzamy oczywiście, po pierwsze, że prawdą jest φ (1); tu - z epistemologicznego punktu widzenia - nie ma problemów. Teraz krok indukcyjny: mamy pokazać, że - dla dowolnej liczby naturalnej k - jeśli φ (k), to φ (k+1). Powiadamy zatem: "n i e c h d a n a b ę d z i e dowolna liczba naturalna k", i następnie dla t e j liczby najzupełniej dowolnej, lecz przecież w danym momencie, na czas rozumowania, u s t a l o n e j i rozumianej jako przedmiot k o n k r e t n y i j e d n o s t k o w y - dowodzimy implikacji, o którą chodzi. Jeśli się nam to uda, to mówimy, że - na mocy zasady indukcji matematycznej - prawdą jest φ (n) dla k a ż d e j liczby naturalnej n. Czy jednak - i na tym właśnie polega prawdziwy problem indukcji matematycznej - możemy być pewni, że owa implikacja "jeśli φ (k), to φ (k+1)" jest prawdziwa dla k a ż d e j liczby naturalnej, skoro została w rzeczywistości udowodniona dla p e w n e j, choć dowolnej, liczby k? Otóż, jeśli bez wahania odpowiadamy na to pytanie twierdząco, to dlatego, widzimy jasno i wyraźnie, że przeprowadzone rozumowanie w istocie rzeczy zupełnie n i e z a l e ż a ł o o d k o n k r e t n e g o w y b o r u liczby k i od jej partykularnych własności i że przeto zawsze moglibyśmy je p o w t ó r z y ć, gdyby tylko zaszła taka potrzeba, dla jakiejkolwiek innej liczby naturalnej.

Generalnie tedy rzecz biorąc, sens doktryny Berkeleya-Kanta-Poincarégo sprowadzałby się w końcu do przekonania, że tym, co decyduje o swoistości matematycznego poznania, jest potencjalnie tkwiąca w podmiocie owa szczególna zdolność do a b s t r a h o w a n i a - gdy w pewnej konkretnej sytuacji s zostaje wykonane pewne konkretne działanie (pewna konstrukcja) d - o d p a r t y k u l a r n y c h w ł a s n o ś c i tego działania, dzięki czemu zostaje niejako utworzona (w owym akcie abstrakcji) kategoria S sytuacji analogicznych i zarazem pewna operacja D jako klasa działań (konstrukcji), której jednym z konkretnych elementów jest działanie d (tu, nawiasem mówiąc, jest może najlepsze miejsce na przypomnienie sobie tego, od czego zaczęliśmy - teorii Frécheta-Bourbakiego). Sama ta konstrukcja nie daje się - ściśle rzecz biorąc - powtórzyć, ma ona jednak pewien, by tak rzec, s c h e m a t o p e r a c y j n y, który bez ograniczeń reprodukować można w każdej sytuacji należącej do kategorii S. Ten właśnie elementarny, swoiście matematyczny akt abstrakcji (przekształcający konkretne działania w reprodukowalne operacje) leży u podstaw konstrukcji wszelkich ogólnych pojęć matematycznych, ale też u podstaw wszelkich rozumowań, które mają dowodzić prawdziwości twierdzeń ogólnych: jeśli można udowodnić, że - dla pewnego elementu A pewnej kategorii obiektów matematycznych (kategorii pierwotnie danej lub właśnie skonstruowanej w samym tym akcie, o który chodzi) - prawdziwe .jest zdanie φ (A), w t a k i s p o s ó b, p r z y k t ó r y m n i e k o r z y s t a s i ę z u p e ł n i e z p a r t y k u l a r n y c h w ł a s n o ś c i o b i e k t u A, l e c z t y l k o z t e g o, ż e j e s t o n o b i e k t e m k a t e g o r i i, o k t ó r e j m o w a, to możemy być pewni, że prawdziwe jest także zdanie φ (X) dla każdego innego obiektu X tejże kategorii. I tę właśnie regułę - w odróżnieniu od zasady indukcji matematycznej (która jest w pewnym sensie jedynie jej przypadkiem szczególnym) - chciałoby się nazwać m a t e m a t y c z n ą z a s a d ą i n d u k c j i, indukcji, która - jak zapewniał Poincaré - z jednej strony jest twórcza (co odróżnia ją od rozumowań logicznych), z drugiej zaś, inaczej niż w przypadku indukcji stosowanej w naukach empirycznych, niezawodna; tamta bowiem "opiera się na wierze w generalny porządek świata, który jest poza nami", ta zaś "jest jedynie stwierdzeniem pewnej własności samego umysłu"³⁴.

³⁴Ibidem, s. 42.

Czy przypomniane przed chwilą pomysły Berkeleya, Kanta i Poincarégo można uważać za rozwiązanie problemu Locke'a-Berkeleya? Ale czy w filozofii o czymś takim, jak "rozwiązanie" tego lub innego problemu, można w ogóle mówić? Historia filozofii, prima facie, jest historią poglądów, koncepcji, doktryn - historią systemów zadań twierdzących. Czy wszakże w rzeczywistości nie jest raczej tak, że owe zdania, owe twierdzenia są jedynie formą, w której każdorazowo znajduje swój wyraz ten etap tzw. postępu wiedzy, do którego doprowadzony właśnie został proces stopniowego uświadamiania sobie przez umysł ludzki fundamentalnej nierozstrzygalności owych pytań, których - jak powiada Kant - "nie może uchylić, albowiem zadaje mu je własna jego natura, ale na które nie może również odpowiedzieć, albowiem przewyższają one wszelką jego możliwość"³⁵?

³⁵I. Kant, op. cit., t. I, s. 7.

Czy nie jest tak, że to, co w filozofii nazywamy "rozwiązaniem" jakiegoś zagadnienia, jest na ogół w istocie rzeczy co najwyżej nowym, może jedynie bardziej rozwiniętym, może lepszym sformułowaniem pytania już przedtem wielokrotnie stawianego? Jeśli tak właśnie jest (a sądzimy, że tak), to stwierdzenie, że to, co nazywamy tu teorią Berkeleya-Kanta-Poincarégo, j e s t pewnym rozwiązaniem problemu Locke'a-Berkeleya, uznać można za prawdę w takim samym stopniu niepodważalną, w jakim oczywista jest "obiektywna" rozwiązania tego niedoskonałość. Krytyka taka byłaby jednak nazbyt łatwa i, dla niej samej, nie warto jej w ogóle podejmować. Może raczej należałoby zapytać o coś innego: o to, jaką postać (czy też, w liczbie mnogiej, jakie formy) przybrały idee w teorii tej zawarte w naszych czasach, w refleksji nam współczesnej.

Oto idea możliwości n i e o g r a n i c z o n e j i t e r a c j i wszelkiego istotnie matematycznego aktu poznawczego i związana z nią matematyczna zasada indukcji, najbardziej bodaj wyraźnie przez Poincarégo wypowiedziana. Do niej nawiąże - może nawet nie tyle w sferze meta-matematycznej, ile raczej w intuicyjnej konstrukcji podstaw samej matematycznej praktyki badawczej - cała współczesna myśl konstruktywistyczna. Brouwer odwoła się do niej wyjaśniając centralne pojęcie swej koncepcji ("intuition of twooneness")³⁶

³⁶Zob. np. L. E. J. Brouwer, Intuitionism and formalism, w: Philosophy of mathematics, P. Benacerraf and H. Putman eds., New Jersey 1964, s. 69. Por. komentarze Betha w Mathematical thought, Dordrecht-Holland 1965, s. 183.

Markow - analizując podstawowy, z konstruktywistycznego punktu widzenia, problem istnienia tzw. nieskończoności aktualnej i kwestii interpretacji zdań postaci "dla każdego x, φ (x)" w przypadku, gdy zmienna kwantyfikowana może przebiegać zbiór nieskończony³⁷.

³⁷Zob. A. A. Markow, O łogikie konstruktiwnoj matiematiki, Moskwa 1972, § 7.

Oto idea exemplum in contrarium, pomysł interpretowania rozumowań matematycznych jako ciągów swoistych a n t y c y p a c j i k o n t r p r z y k ł a d ó w, przez Berkeleya na plan pierwszy wysunięty. Przecież - powiada on - "kąt prosty mógłby być ostry, a boki nierówne, a mimo to dowód zachowałby swą ważność". Jeśli więc potrafimy skutecznie prowadzić dowód zdania ogólnego odwołując się do konkretnego i jednostkowego obiektu, to dlatego, że umiemy się posługiwać tym obiektem jako czymś w rodzaju zbiornika wszystkich możliwych kontrprzykładów, które obalić by mogły nasze twierdzenie ogólne. Mówiąc "niech będzie dany d o w o l n y trójkąt ABC", niejako pozostawiamy wybór konkretnego trójkąta, na którym będziemy pracować, naszemu wyimaginowanemu oponentowi, któremu bardzo zależy na tym, aby - już to na samym początku rozumowania, już to na którymś z kolejnych kroków - pokazać, poprzez dobranie odpowiedniego kontrprzykładu, że to, co twierdzimy, nie ma ważności uniwersalnej, który jednak - jeśli właściwie poprowadzimy nasze dowodzenie - będzie się w końcu musiał uznać za pokonanego. Do tego genialnego pomysłu nawiązał, korzystając ponadto z pewnych ważnych sugestii Hume'a³⁸,

³⁸Zob. D. Hume, Traktat o naturze ludzkiej, t. I, Warszawa 1963, s. 37-39.

sam Beth w swej pięknej analizie stosunku między wywodliwością czysto formalną a wynikaniem sensownym i następnie w teorii tzw. "tablic semantycznych", łączącej - a nie jest to rzecz łatwa do uzyskania - precyzję języka i ścisłość wywodu z adekwatnością do rzeczywistej praktyki badawczej matematyków³⁹.

³⁹Zob. np. E. W. Beth, Semantic entailment and formal derivability, w: The philosophy of imathematłcs, J. Hintikka (ed.), Oxford University Press 1969, s. 9-41; także Mathematical thought, op. cit., rozdz. IV, oraz E. W. Beth, J. Piaget, Epistemologie mathématiąue et psychologie, op. cit., §23.

Oto wreszcie kaniowska koncepcja poznania matematycznego jako poznania "na podstawie konstrukcji pojęć" i podstawowe - co nie przez wszystkich tnterpretatorów zostało zauważone - pojęcie operacyjnego s c h e m a t u konkretnej konstrukcji matematycznej. Do tej myśli nawiązał Piaget, który - zakładając, że nie ma żadnej w ogóle wiedzy a priori, że wszelkie poznanie, również matematyczne, wywodzi się z działania - rozróżnia jednak, w działaniu jakimkolwiek, jego aspekt "fizyczny" czy "materialny" (w oczywistym sensie) oraz aspekt potencjalnie operacyjny. Ten drugi właśnie stanowi źródło swoistego "doświadczenia matematycznego", które w odróżnieniu 'zarówno od tzw. "doświadczenia psychologicznego" (opartego na introspekcji), jak od "doświadczenia fizycznego" odnosi się nie tyle do samych działań jako takich ani też ich konkretnych korelatów, ile raczej jedynie do ich s c h e m a t ó w o p e r a c y j n y c h, to znaczy - jak powiada - do "ustrukturalizowanych zbiorów tych cech owych działań, które mogą być uogólnione, a więc tych cech, które pozwalają powtórzyć dane działanie lub zastosować je do nowych treści"⁴⁰.

⁴⁰E. W. Beth, J. Piaget, op. cit., s. 250r-251.

W konsekwencji, rozróżnić też trzeba abstrakcję "zwykłą" lub "empiryczną" (opartą na obserwacji pewnych bardziej lub mniej ogólnych cech wspólnych przedmiotów pewnej klasy) oraz to, co nazywa abstraction réfléchissante, abstrakcję polegającą na procedurze, która mając za punkt wyjścia pewne działanie konkretne i na konkretnych przedmiotach wykonywane, prowadzi do wyabstrahowania właśnie nie takich lub innych cech samych tych obiektów, ale generalnych mechanizmów koordynujących te działania i operacje, i która przeto - wbrew temu, co twierdził Berlyne - bynajmniej nie polega na samym tylko odrzuceniu informacji, ale przeciwnie, wytwarza nową informację i w tym choćby znaczeniu jest "konstruktywna"⁴¹.

⁴¹Zob. ibidem, cz. II, passim; także J. Piaget, Introduction à l'épistémologie génétique, t. I: La pensée mathématique, Paris 1973 oraz artykuły tegoż autora: Les données génétiques i Les problèmes principaux de l'épistémologie des mathématiques, zamieszczone w: Logique et connaissance scientifiąue, sous la direction de Jean Piaget, Paris 1967, s. (odpowiednio) 403-423 i 554-596, passim.

Bardziej szczegółowego omówienia ani dyskusji tych trzech ważnych (aczkolwiek, powtórzmy, leżących w pewnym sensie poza dominującą tendencją współczesnej filozofii matematyki) kierunków kontynuacji idei Berkeleya, Hume'a, Kanta i Poincarégo podjąć tu oczywiście nie możemy; gdybyśmy chcieli to uczynić, musielibyśmy daleko wykroczyć poza ramy, które sobie w rozprawce tej zakreśliliśmy. Sądziliśmy jednak, że wypadało - na zakończenie - ich istnienie choćby w tych kilku słowach odnotować; sądzimy też, że nawet tak szkicowa ich prezentacja pozwala w każdym razie jasno zobaczyć, że jeśli są pytania, od których analizy filozofia matematyki w żaden sposób uchylić się nie może, to są to te pytania, które w tych właśnie koncepcjach są dziś artykułowane, i te, które z nich bardziej lub mniej bezpośrednio wynikają: jaka jest w gruncie rzeczy natura i sposób istnienia obiektów matematycznych? Co dokładnie należy rozumieć przez owe swoiste reprodukowalne akty poznawcze matematyka, owe "działania" i "konstrukcje", dzięki którym dochodzić może do autentycznego kontaktu między poznającym podmiotem a konkretnym matematycznym obiektem i które - przekształcone w "operacje" - stają się fundamentem, na jakim można budować wiedzę abstrakcyjną i uniwersalną? Jak działa podmiot? Czy chodzi tu o podmiot psychologicznie i indywidualnie rozumiany, czy raczej o pewnego typu "świadomość społeczną", czy może wreszcie o coś w rodzaju piagetowskiego "sujet épistémique" jako systemu struktur operacyjnych, które determinują strukturę matematycznej świadomości, lecz które same w sobie wcale jeszcze świadomymi strukturami poznawczymi być nie muszą? Jeśli trafna jest trzecia hipoteza, to jak określić relacje wiążące ze sobą te dwa (a może jest ich więcej niż dwa) poziomy funkcjonowania podmiotu?

Są to - nie musimy chyba o tym zapewniać - skrajnie trudne pytania i przyznać musimy, że choć nie uważamy ich za zupełnie beznadziejne, nie bylibyśmy dziś w stanie podjąć się, w tej materii, obrony jakiejkolwiek w jakimś przynajmniej stopniu wyczerpującej i uzasadnionej teorii. Jest może tylko jedna rzecz, co do której nie mamy żadnych wątpliwości: to, że są to pytania f i l o z o f i c z n e w tym samym znaczeniu, w jakim filozoficzne były analizy Berkeleya i Kanta. Ani proponowane przez wielu myślicieli współczesnych odrzucenie ich w całości jako metafizycznych pseudoproblemów, ani równie często stosowane takie ich okrojenie i wypreparowanie, przy którym jako pytanie sensowne pozostaje z nich to tylko, co daje się sformułować jako zagadnienie "naukowe" (logiczne, psychologiczne itp.) spełniające określone rygory - nie jest przeto wyjściem, które moglibyśmy, z filozoficznego punktu widzenia, zaakceptować, albowiem byłoby to po prostu uchylenie się od odpowiedzi. To, że wszelkie rozwiązanie tej kwestii - jeśli ktoś będzie usiłował je podać jako odpowiedź f i l o z o f i c z n ą - nie może być rozwiązaniem "ścisłym", "pewnym" i ostatecznym, jest także oczywiste, lecz taka właśnie jest natura filozofowania. Prawda filozoficzna nie daje się wyrazić w twierdzeniu czy systemie, nie można jej udowodnić; żyje ona jedynie w ciągłości wysiłku pokoleń, wysiłku, który tylko w ten sposób łagodzić może ludzkie poczucie pierwotnego dramatu poznawczego, z którego się zrodził, że każdorazowo włączając w teraźniejszość to wszystko, co było, dramat ten, z pokolenia na pokolenie, wciąż na nowo odtwarza.

Andrzej Lubomirski,
"Le problème de Locke-Berkeley, Kant, Poincaré
et le principe mathématique d'induction"
Resumé

Comment est-il possible que les raisonnements mathématiques où interviennent inévitablement des actes de ćonnaissance se rapportant à des objets particuliers et concrets (au sens mathématique du mot), peuvent néanmoins fonder des propositions rigoureuses, nécessaires et universellement valables? C'est un cas particulier de cette question, et notamment le "probleme de Locke-Berkeley", dans les termes du logicien hollandais Evert W. Beth dont les idées avaient inspiré notre analyse, qui est le sujet de cet article. Nous y mettons en relief 1'importance de la solution de Berkeley, différente de la theorie classique de 1'abstraction (en particulier, de celle de Locke), et, d'autre part, soulignons son affinité, à certains égards, avec les conceptions ultérieures de Kant et de Poincaré. A titre de conclusion, nous cherchons à mettre en évidence certains points de la doctrine de Berkeley-Kant-Poincaré qui trouvent, dans 1'épistémologie des mathématiques contemporaine, les continuations qui nous paraissent intéressantes: 1) 1'idée de reproductibilité indéfinie de tout acte de connaissance matltématique en tant que fondement de ce que nous appellons le "principe mathématique d'induction", mise en avant par Poincaré et qu'on retrouve dans divers courants du constructivisme moderne; 2) l'interprétation des raisonnements mathématiques comme des séries d'anticipatŁons des contre-exemples possibles, avancée par Berkeley et qui constitue le noyau de la "méthode des tableaux sémantiques" élaboree par Beth; enfin 3) 1'idiée kantienne du "scheme opératoire de construction", reprise, dans une forme modifiée, par Jean Piaget dans ses conceptions de l'"expérience mathématique" et de l'"abstraction réfléchissante", fondamentales pour son "épistémologie génetique" des mathémtiques.