Andrzej Lubomirski
Elementy filozofii matematyki

strona w przygotowaniu


Poniżej zamieszczam konspekt rozprawy, której nie udało mi się ukończyć. Materiały do niej zbierałem przez całe naukowe życie, w sumie przez kilkadziesiąt lat, choć z przerwami. Miała być wynikiem kompilacji trzech tekstów wcześniej nie publikowanych. Wszystkie pochodzą z drugiej połowy lat siedemdziesiątych lub początku lat osiemdziesiątych XX wieku, a więc prawie sprzed pół wieku. Dwa z nich (jeden zatytułowany pierwotnie "Istnienie i prawda w matematyce", a drugi - "Matematyka i intuicja") pomyślane były jako teksty, w których zamierzałem zebrać i w sposób systematyczny wyłożyć wyniki rozważań nad - jak widać z samych tytułów - klasycznymi problemami związanymi z naturą bytów matematycznych i matematycznego poznania [tak jak były one stawiane w historii europejskiej filozofii matematyki]. Trzeci, najpóźniejszy (pod pierwotnym tytułem "Czym jest i czym powinna być filozofia matematyki?"), miał charakter metarefleksji, i poruszał się w obszarze zagadnień związanych z pytaniem o samą naturę, cele i metody filozofii matematyki w ogóle. Dlaczego te teksty nie zostały wówczas oddane do druku (poza skróconą wersją metafilozofii w artykule) i dlaczego postanowiłem do nich po latach wrócić - wyjaśniać nie warto.

Gdy jakiś czas temu dowiedziałem się, że moje dni są policzone i że prawie napewno nie zdążę pracy ukończyć, postanowiłem zrobić to, na co jeszcze miałem czas, tzn. zebrać wszystko, co miało się w rozprawie znaleźć i co nadawało się do udostępnienia, zebrać w jednym miejscu i udostępnić. Dziś jest 4 stycznia 2021 roku. Być może wystarczyłoby jeszcze parę lub kilka miesięcy, bym rozprawę - w tej wersji - przygotował do publikacji. Jednak mamy pandemię - a ja, gdybym zachorował, z pewnością jej nie przeżyję. Dlatego jakiś czas temu postanowiłem opublikować choćby konspekt rozprawy. Być może zajmowanie się filozofią matematyki w świecie, który nadchodzi, w ogóle nie będzie miało sensu. Wydawało mi się jednak, że nie mogę tak po prostu zrezygnować, wyrzucić wszystko do kosza i czekać. Dlatego opublikowałem ten konspekt i dopóki będę mógł, będę go jeszcze być może poprawiał, dalej pracując nad rozprawą. Jeśli data aktualna nie będzie zgodna z datą wymienioną wyżej w tekście, to znaczy, że już nie pracuję.

Konspekt

1. Punktem wyjścia filozofii matematyki musi być fakt istnienia matematyki jako wiedzy niepustej (syntetycznej), choć nie opartej na doświadczeniu, a zarazem pewnej i koniecznej (niepodważalnej, niefasyfikowalnej). Oznacza to w szczególności odrzucenie wszelkich postaci nominalizmu i empiryzmu.
"Mamy tu oto wielkie i wypróbowane poznanie, które już teraz posiada podziwu godną objętość i obiecuje nieograniczone jej rozszerzenie. Wiedzie ono z sobą pewność na wskroś apodyktyczną, tj. bezwzględną konieczność, a więc nie opiera się na podstawach doświadczalnych; jest więc czystym wytworem rozumu; ponadto zaś jest poznaniem całkowicie syntetycznym. 'Jakżeż tedy jest dla rozumu ludzkiego możliwe osiągnąć takie poznanie całkowicie a priori?' Czy wobec tego, że zdolność ta nie opiera się i nie może się opierać na doświadczeniu, nie zakłada ona jakiejś głęboko ukrytej podstawy poznawczej a priori, która jednak mogłaby ujawnić się w tych swych działaniach, jeżelibyśmy tylko pilnie prześledzili ich pierwsze początki?" (Kant, Prolegomena..., s. 42-43)

"La possibilité même de la science mathématioque semble une contradtiction insoluble. Si cette science n'est dédeuctive qu'en apparence, d'ù lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mattre en doute? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du prncipe d'identité, tout devrait aussi puvoir s'y ramener. Admettra-t-on donc que les énoncés de tous des théorèmes qui remplissent tant de volumes ne soient que de ma nières détournées de dire que A est A?" (Poincaré, Sur la nature du raisonnement mathématiques, s. 31)

2. Dotyczy to zarówno obszaru aktywności poznawczej matematyków w wymiarze indywidualnym, jak obszaru matematyki jako nauki.

3. Swoistości poznania matematycznego nie da się ufundować w czymkolwiek zewnętrznym wobec matematyki, lecz tylko w niej samej.

4. Matematyka, jako przedmiot filozofii matematyki, nie może być pojmowana jako zespół systemów formalnych, lecz jako całość rzeczywistej praktyki badawczej w wymiarze indywidualnym i historycznym, z jej wszystkimi uwarunkowaniami. Właściwą metodą filozofii matematyki jako nauki jest metoda analizy bezpośredniej (w odniesieniu do poszczególnych aktów poznawczych) oraz metoda historyczno-krytyczna (w odniesieniu do historii matematyki).

5.-9. Kluczową pod-dyscypliną filozofii matematyki powinna być nie ontologia (realizm-antyrealizm, problem statusu obiektów matematycznych), lecz epistemologia, co oznacza w szczególności wzięcie pod uwagę diachronicznego wymiaru wiedzy matematycznej, a także sfery wartości kierujących postępowaniem matematyków. Krytyka kierunków dominujących we współczesnej filozofii matematyki, nastawionych nie na badanie problemów epistemologicznych, lecz na na zagadnienia języka i struktury teorii matematycznych oraz na zagadnienia semantyczne (odniesienie pojęć i twierdzeń do ich przedmiotowego odniesienia).

10.-12. Dyskusja artykułu Poincarégo, L'invention mathématique. Przykład analizy metodą analizy bezpośredniej.

13. Wypisy z Elementów historii matematyki Bourbakiego.

14. Wnioski: (1) wszystko, co składa się na matematykę, jest procesem (2) fundamentalny kierunek myślenia matematycznego jest przeciwny do kierunku logiki (3) matematyka rozwija się jako całość (4) matematyka nie jest zbiorem teorii formalnych.

15. Nie da się zrozumieć myślenia matematycznego i rozwoju matematyki bez uwidocznienia podstawowych wartości sterujących praktyką badawczą matematyków. Analiza tych wartości.

16. Współczesna filozofia matematyki jako przeciwieństwo filozofii matematyki uprawianej według zasad wyłożonych wyżej.

17.-20. Analiza procesów historycznych, ktore doprowadziły do XX-wiecznej filozofii matematyki. Teza Betha o dwóch etapach historii filozofii matematyki ("from without" do Kanta i "from within" po Kancie) i roli Kanta w zmianie paradygmatu. Komentarze do teorii Betha i zwrócenie uwagi na dwa pod-etapy historii filozofii matematyki po Kancie: pod-etap fundacjonistyczny obejmujący wiek XIX, tzw. kryzys podstaw (antynomie) na przełomie XIX i XX wieku, oraz pierwsze dekady XX wieku (prowadzący do uznania problemu podstaw za główny problem filozofii matematyki i ukształtowania się logicyzmu, formalizmu i intuicjonizmu jako głównych kierunków filozofii matematyki), oraz okres neopozytywistyczny (później post-neopozytywistyczny), zaczynający się na przełomie lat 20. i 30. XX wieku, ukształtowany z jednej strony przez pojawienie się twierdzeń Gödla (i ppodobnych, oznaczających koniec złudzeń wiązanych z formalizmem Hilberta i innych wiązanych z możliwością znalezienia "logicznych" podstaw matematyki), z drugiej strony przez opanowanie głównego (przeważnie anglosaskiego) nurtu filozofii matematyki przed dogmaty filozofii analitycznej, lingwistycznej i neopozytywizmu.

21. Uwagi o niektórych koncepcjach filozofii matematyki drugiej połowy XX wieku (Quine, Lakatos, i in.)

22. Krytyka współczesnej filozofii matematyki jako refleksji skoncentrowanej wokół osi realizm-antyrealizm (na przykładzie artykuły Balaguera). Postulat powrotu do tradycji filozofii matematyki uprawianej jako dyscyplina filozofii ogólnej.

23.-32. Platon. Filozofia Platona jest jedną z dwu (drugą jest koncepcja Kanta) możliwych wielkich strategii budowy filozofii matematyki; kto tego nie widzi, niczego w tej dyscyplinie nie zdziała. Whitehead powiedział kiedyś, że cała filozofia to przypis do Platona, a Kołakowski, przypominając to powiedzenie, dodał: "W rzeczy samej, gdy rozważamy jakąś ważną kwestię w metafizyce, w teorii poznania i wiedzy, w sprawach moralności lub teorii etycznej, często także w ogólnych sprawach polityki, a również w dialektyce (czyli w sztue uczonej konwersacji), w retoryce i zwracamy uwagę na historyczne losy naszych pytań, prawie niechybnie do Platona dojdziemy" (O co nas pytają ... I, s. 37). Żeby jednak sensownie z idei Platona skorzystać, trzeba spróbować zrozumieć, jaka była jego rzeczywista nauka, nie zaś tylko - jak to się dziś często w filozofii matematyki dzieje - przywoływać jego nazwisko nie dostrzegając, że koncepcja Platona nie była tożsama z wymyślonym w XX wieku tzw. platonizmem matematycznym, którego główną tezą jest teza o istnieniu szczególnego świata abstrakcyjnych obiektów matematycznych, niezależnego zarówno od rzeczywistości zmysłowo dostępnej, jak od podmiotu poznającego, wiązana też zazwyczaj z tezą o poznawalności tego świata dzięki istnieniu szczególnej władzy poznawczej pozwalającej na bezpośredni wgląd w matematyczną rzeczywistość i przekształcającej w ten sposób matematykę w najdoskonalszą formę poznania ludzkiego.

Otóż zdaniem Platona przedmioty matematyki istotnie mają szczególny, inny niż rzeczy sposób istnienia, ale nie tworzą odrębnego świata. Świat jest jeden i do niego należą, różniąc się między sobą poziomem ontycznym, tak rzeczy, jak przedmioty matematyki oraz idee (formy), z którymi jednak przemioty matematyczne nie są bynajmniej tożsame (co niektóre wersje wspomnianego platonizmu matematycznego zakładają). Matematyka nie jest wzorem wiedzy. Jest wiedzą o bardzo wysokim stopniu pewności, ale nie wiedzą doskonałą, bowiem dianoetyczną (nie noetyczną, jak filozofia) i nie może być filozofii podstawą, chociaż studiowanie matematyki jest warunkiem niezbędnym uzyskania zdolności do dotarcia do wiedzy najdoskonalszej (aczkolwiek z kolei nie dlatego, jak się powszechnie sądzi, że stanowi skuteczne ćwiczenie umysłu, lecz poprzez treść tej nauki, tzn. dlatego, że poznawanie prawd matematycznych zbliża nas do bytu i dobra). Przedmioty matematyczne są poznawalne dzięki temu, że świat jest w określony sposób zbudowany oraz dlatego, że podmiotem poznania jest nieśmiertelna dusza, zdolna, gdy połączona z ciałem, do przyminania sobie wiedzy wcześniej uzyskanej.

33.-38. Arystoteles.

39. Wiek XVII. "Syntetyczny" okres matematyki według Boutrouxa. Kartezjusz, Leibniz.

40.-46. Kant. Oto główna teza Kanta (i moim zdaniem jedna z najważniejszych, jeśli nie najważniejsza, teza w całej historii filozofii matematyki) w Krytyce czystego rozumu:
"Poznanie filozoficzne jest poznaniem rozumowym [uzyskiwanym] na podstawie pojęć, matematyczne poznanie zaś poznaniem na podstawie konstrukcji pojęć. Skonstruować zaś pojecie to znaczy przedstawić odpowiadająca mu naoczność a priori. Dla konstrukcji pojęcia wymagana jest więc naoczność nieempiryczna, która przeto - jako naoczność - jest przedmiotem jednostkowym [podkr. A.L.], ale mimo to jako konstrukcja pojęcia (ogólnego przedstawienia) musi w przedstawieniu wyrazić powszechną ważność dla wszystkich możliwych naocznych, które podpadają pod to samo pojęcie [podkr. A.L.]. Konstruuję więc trójkąt przedstawiając przedmiot odpowiadający temu pojęciu albo za pomocą samej tylko wyobraźni w naoczności czystej, albo wedle niej także na papierze w naoczności empirycznej, ale w obu wypadkach całkowicie a priori, nie zapożyczywszy na to wzoru z żadnego doświadczenia. Każda wyrysowana figura indywidualna jest empiryczna, a mimo to służy do wyrażenia pojęcia bez szkody dla jego ogólności, ponieważ przy tej empirycznej naoczności zważa się zawsze tylko na czynność konstruowania pojęcia, dla którego zupełnie obojętnych jest wiele określeń [danej figury], np. wielkości,boków i kątów, i wobec tego abstrahuje się od tych różnic, które nie zmieniają pojęcia trójkąta.

Poznanie filozoficzne rozważa więc to, co szczegółowe, tylko w tym, co ogólne, matematyczne zaś to, co ogólne, w tym, co szczegółowe, a nawet w tym, co jednostkowe, ale mimo to a priori i za pomocą rozumu, tak iż podobnie jak owo coś jednostkowego jest określone pod pewnymi ogólnymi warunkami konstrukcji, tak też przedmiot pojęia, któremu to coś jednostkowego odpowiada jedynie jako jego schemat [podkr.A.L.], musi być pomyślany [jako] ogólnie określony.

Na tej to formie polega więc istotna różnica tych obu rodzajów poznania rozumowego, a nie opiera się na różnicy jego materii lub przedmiotów. Ci, którzy mniemali, iż można filozofię w ten sposób odróżnić od matematyki, że o tamtej powiedzieli, iż ma ona za przedmiot [badania] jedynie jakość, natomiast ta tylko wielkość (Quantität), wzięli skutek za przyczynę. Forma poznania matematycznego jest przyczyną [tego], że może ono dotyczyć jedynie wielkości (Quanta(. Albowiem tylko pojęcie wielkości da się skonstruować, tzn. przedstawić a priori w danych naocznych, natomiast jakości nie dadzą się przedstawić w danych żadnej innej naoczoności jak tylko empirycznej." (Kant [1], t. II, s. 453-455).

Koncepcja Kanta jest na ogół przedstawiana jako teza, że poznanie matematyczne jest poznaniem syntetycznym a priori i we współczesnej filozofii matematyki interpretowana najczęściej tak, że nadaje się terminom "syntetyczności" i "a priori" takie znaczenia, jakie się chce (nie mające zazwyczaj nic wspólnego z ideą Kanta wyrażoną w przytoczonym cytacie i tekstach podobnych), po czym krytyka Kanta (tzn. w rzeczywistości krytyka koncepcji będącej karykaturą koncepcji Kanta) jest już zadaniem zupełnie łatwym. Tymczasem właściwy sens tezy Kanta (o syntetyczności a priori poznania matematycznego) ujawnia się właśnie w sposób najdoskonalszy w jego koncepcji "konstruowania pojęć w naoczności czystej", będącej zresztą, co łatwo zauważyć przy poważniejszej lekturze pism dawnych filozofów, odpowiedzią na problem dostrzegany i rozważany już przez Platona, potem Kartezjusza (), Locke'a i Berkeleya, zaś później, po Kancie, przez Husserla () i zapewne przez Gödla (który być może, nie wiemy tego na pewno, tę właśnie intuicję miał na myśli sugerując, że najważniejsze rozwiązania w filozofii matematyki znaleźć będzie można w odpowiednio zinterpretowanych teoriach Kanta i Husserla).

47.-56. Poincaré. Z nazwiskiem Poincarégo wiązana jest najczęściej etykieta "konwencjonalisty" (często bez zrozumienia, na czym naprawdę polegał konwencjonalizm Poincarégo w fiozofii nauki i w filozofii geometri - szczególną rolę w szerzeniu dezinterpretacji myśli Poincarégo odegrali, jak w wielu innych przypadkach, nepozytywiści, próbujący w jednych miejscach powołać się na autorytet Poincarégo dla rozpowszechniania własnych poglądów, w innych miejscach krytykujący go, gdy głosi poglądy im nie odpowiadające). Powszechnie znae są też rozważania Poincarégo na temat intuicji (z jednej strony w kontekscie psychologii odkryć matematycznych, z drugiej strony w kontekście opozycji między intuicją a logiką). Istota filozofii matematyki Poincarégo leży jednak gdzie indziej: tam, gdzie autor zastanawia się nad problemem swoistości rozumowania matematycznego jako rozumowania twórczego, prowadzącego do większej ogólności, a zarazem niezwodnego, ale nie dającego się zredukować do ciągu procedur logicznych. Jednym z najważniejszych miejsc w pismach Poincarégo jest następujące, w którym autor mówi o rozumowaniu przez indukcję:
"Pourquoi donc ce jugement s'impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence? C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte des que cel acte est une fois possible. L'esprit a de cette puissance une intuition directe et l'expérience ne peut être pour lui qu'une occasion de s'en servir et par la d'en prendre conscience". [...] On ne saurait méconnaître qu'il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l'induction. Mais une différence essentielle subsiste. L'induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu'elle repose sur la croyance à un ordre général de l'Univers, ordre qui est en dehors de nous. L'induction mathématique, c'est-à-dire la demonstration par récurrence, s'impose au contraire nécessairement, parce qu'elle nest que l'affirmation d'une propriété de l'esprit lui-même" (Poincaré, Sur la nature du raisonnement mathénatique, w: La science et l'hypothèse, s. 41-42).

57. Intuicjonizm Brouwera.

58. Intuicjonizm, c.d.

59. Intuicjonizm i fenomenologia. Hermann Weyl.

60.-68. Husserl.

69.-75. Gödel. Poglądy Gödla funkcjonują w literaturze najczęściej w dwóch kontekstach: w kontekście platonizmu, którego Gödel miałby być ważnym przedstawicieem, oraz w konteście dwóch głównych twierdzeń Gödla (twierdzenia o niezupełności i wynikającego z niego twierdzenia o niedowodliwości niesprzeczności); w obu przypadkach poglądy te są jednak zazwyczaj omawiane bez wzięcia pod uwagę szerszej (filozoficznej) perspektywy koncepcji Gödla.

Perspektywę tę stanowi, po pierwsze, radykalny (choć przez długi czas nie ujawniany przez autora lub wyrażany bardzo ostrożnie) antypozytywizm Gödla, niedwuznacznie sformułowany np. w nie opubikowanym za życia autora (i nie wygłoszonym) odcycie "The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy", a także w (również nieopublikowanym) artykule "Is mathematics syntax of language?".

Drugim elementem, jaki należy brać pod uwagę, jest zainteresowanie Gödla (w poźniejszym okresie życia) fenomenologią, a także Kantem. Centralnym założeniem filozofii Gödla jest, jak powszechnie wiadomo, platonizm, obejmujący zarówno tezę o niepustości wiedzy matematycznej (nie odnoszącej się jednak do świata zewnętrznego), jak tezę o istnieniu szczególnego rodzaju intuicji jako władzy poznawczej pozwalającej na bezpośredni kontakt z przedmiotami matematycznymi; rzeczywisty sens tej tezy trzeba jednak pojmować w kontekście przekonania Gödla, że właściwą strategią budowy filozofii matematyki może być tylko odwołanie się do pomysłów Kanta (odpowiednio zinterpretowanego) oraz do fenmenologii, także po odpowiedniej przebudowie i doprecyzowanu idei Husserla. Jak należy rozumieć te sugestie Gödla, nie jest jasne; jest jednak jasne, że wzięcie ich pod uwagę może mieć dla położenia podwalin pod przyszłą filozofię matematyki kluczowe znaczenie.

77.-81. Piaget. Prezentacja metodologicznych założeń Piageta - konstrukcja epistemologii genetycznej ("Toute connaissance ... est à envisager toujours, méthodologiquement, comme relative à un certain état antérieur de moindre connaissance, et comme susceptible de constituer elle-même un tel état antérieur par rapport à une connaissance plus poussée." (IEG, s. 18)).

Trzy godne uwagi idee Piageta:
  • pojęcie "l'expérience logico-mathématique" ("Le fait essentiel est que si l'expérience physique porte sur les objets, avec acquisition des connaissances par abstraction à partir de ces objets, l'expérience logico-mathématique porte sur les actions que le sujet exerce sur les objets at l'acquisition des connaissance résulte alors d'une abstraction que l'on doit considérer comme procédant à partir de ces actions, puisque les propriétés découverte sur les objets sont celles-là mêmes que les actions ont introduites au préalable" (EMP, s. 249)
  • pojęcie "sujet épistemique" ("ce qu'il y a de commun à tous les sujets d'un même niveau de développement, indépendamment des différences individuelles" (L, s. 14-15))
  • konstruktywizm i pojęcie "abstraction réfléchissante" ("Ainsi le propre d'un tel constructivisme est de remonter définitivement à l'abstraction aristotélicienne à partir de l'être pour généraliser le procédé de l'abstraction réfléchissante qui tire ses éléments d'un palier inférieur d'activité (et à partir de ces actions mêmes) pour les 'réfléchir' ou les projeter sur un palier supérieur où ils donnent lieu à une nouvelle structuration, point de départ elle-même de nouvelles constructions." (s. 566))
Ograniczenia koncepcji Piageta: trudności z przeniesieniem pjęć wypracowanych w teorii rozwoju inteigencji na historię matematyki, brak wyjaśnienia swoistości matematyki w stosunku do logiki, a także braz zadowalającej koncepcji wyjaśniającej możliwość stosowania matematyki w naukach przyrodniczych.

Analiza krytyczna teorii Piageta - z ideami operacji, podmiotu epistemicznego i "abstraction réfléchissante" zdającymi się stanowić rozwiązanie niektórych kluczowych problemów tradycyjnej filozofii matematyki, ale zarazem z ograniczeniami (brak rozwiązania problemu swoistości poznania matematycznego w odniesieniu do logiki, wątpliwa prawomocność przeniesienia wyników psychogenetycznych na historię matematyki, brak rozwiązania problemu skuteczności zastosowań matematyki w naukach przyrodniczych) uniemożliwiającymi rozwiązanie niektórych innych problemów, równie kluczowych.

82. Rekapitulacja analiz dzisiejszego stanu flozofii matematyki (na przykładzie encyklopedycznych artykułów przeglądowych i podobnych, np. artykułu Balaguera o realizmie i anty-realizmie w filozofii matematyki). Zwrócenie uwagi na to, że rzeczywiste problemy filozofii matematyki nie są związane z opozycją realizmu i anrty-realizmu lub tzw. platonizmem (będącym skądinąd wymyśloną przez współczesnych filozofów matematyki koncepcją nie mającą wiele wspólnego z poglądami Platona i nie dostrzegającą rzeczywiście fundamentalnych idei tego filozofa), lecz raczej z opozycją między aprioryzmem i empiryzmem oraz platonizmem a konstruktywizmem jako stanowiskami epistemologicznymi, o ile są one przy tym odpowiednio rozumiane, nawiązujące wprost do najważniejszych idei Platona (także Husserla czy Gödla) i Kanta (także Poincarégo i częściowo Piageta). Ine postawienie problemu: platonizm - konstruktywizm.

83. Wybrane idee Piageta nadające się do wykorzystania przez współczesną fillozofię matematyki.

84. Badania nad funkcjonowaniem mózgu i badania nad sztuczną inteligencją a filozofia matematyki.

85. Koncepcje Platona i Kanta jako dwie główne możliwe strategie ogólnej filozofii matematyki. Wybór: albo świat jest zbudowany zgodnie z preegzystującymi zasadami matematyki, obejmujący również zgodnie z tą "miarą" funkcjonujące nieśmiertelne dusze zdolne do poznania idei dzięki procesom anamnezy, albo matematyka, syntetyczna a priori, jest możliwa tylko dzięki zdolności konstruowania przez rozum pojęć w czystej naoczności, co ostatecznie oznacza, że jest samopoznaniem. W pierwszym przypadku da się wyjaśnić oba główne zagadnienia filozofii matematyki, tzn. zarówno problem swoistości poznania matematycznego, jak zasotosowania, tyle że trzeba przyjąć bardzo mocną aksjomatykę, zakładającą Boga. W drugim przypadku aksjomatyka może być słabsza, ale trzeba się wtedy pogodzić z tym, że tym, co tak naprawdę możemy poznać, jesteśmy my sami. Wolałbym, żeby prawdą było to pierwsze, ale wydaje mi się, że bliżej prawdy jest ta druga koncepcja.